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1、乘法公式(提高)【学习目标】1.掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2.学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：(a+bXa-b^c^-b2两个数的和与这两个数的差的枳，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有
2、相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：(1)位置变化：如(d+b)(-b+d)利用加法交换律可以转化为公式的标准型(2)系数变化：女n(3x+5y)(3x-5^)(3)指数变化：如(脳+兀2)(加3一农2)(4)符号变化:如(-a-b)(a-b)(5)增项变化：女U(m++p){m-n--p)(6)增因式变化：如(a-h)(a+b)(a2+h24-h4)要点二、完全平方公式完全平方公式：(a+b^=cr+2ab+b2(a-h)2=a2-2a
3、h-it-h~两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.以下是常见的变形：a2+b2=(g+Z?)2-2ab=(a_+2ab(a+/?)2=(«-/?)2+4ab要点三、添括号法则添括号时，如果插号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添
4、括号是否正确.要点四、补充公式(兀+p)(x+q)=F+(p+q)x+pq；(a±b)(a2ab+b2)=a>,±b3；(a±/?)3=a3±3a2b4-?)ab2±b3；(o+b+c)?=/+/??+c?+2ab+2ac+2bc.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)4-1.【思路点拨】本题直接计算比佼复杂，但观察可以发现2+1与2-1,2?+1与22-1,24+1与2°-1等能够构成平方差，只需在前面添上因式(2
5、-1),即可利用平方差公式逐步计算.【答案与解析】解：原式=(2—1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(2,6+1)(232+1)+1=(22-1)(22+1)(244-1)(284-1)(216+1)(232+1)+1=264-1+1=264.【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力.举一反三：【变式】计算:(1)(兀-3)(兀2+9)(兀+3)(2)(a+b)(a-b)(a2+b2Ha4+b4)【答案】解
6、：(1)原式=[(x+3)(x-3)](x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81.(2)原式=[(q+b)(a—b)](a2+b2)(/+//)=［（/—戻）（/+戻）］（/+戻）=(a4-b4)(a4+b4)=d*—Z/・紗2、解方程：(2卄1)(2—1)+琼+2)(_2)=(7卄1)(_1).【答案与解析】解：(2兀)2—1+30?一4)=7兀2—7兀+兀一1,4x2—1+3x~—12=7x_—6x—1,7x2-7x2+6x=-1+1+12,6x=12,・：x=2.【总结升华】先利用
7、平方差公式，再按多项式乘法法则展开，此题把平方差公式与解方程综合起来考查.举一反三：八1…f(x+3)(x-3)-x(x-2)>1,【变式】解不等式组：f[(2兀-5)(—2兀-5)<4x(1—x).【答案】(x+3)(尢一3)—x(x一2)>1,①(2x-5)(-2x-5)<4x(l-x).②rtl®WJV2-9-x2+2x>1,2x>10,x>5・由®W52-(2x)2<4x-4x2,25—4兀2<4x—4/2,-4x<-25,x>6.25.・・・不等式组的解集为x>6.25.类型二、完全平
8、方公式的应用V3、运用乘法公式计算：(1)(a+2Z?—3)2；(2)(a+2Z?-3c)(g—2b+3c).【思路点拨】(1)是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将。+2〃—3化成。+(2/7-3),看成d与(2b—3)和的平方再应用公式；(2)是两个三项式相乘，其中a与Q完全相同，2b,-3c与-2b,3c分别互为相反数，与平方差公式特征一致,可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”.【答案与解析】解：(1)原式=[d+(2
