第五章矩阵分析-修订版

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1、''第五章　矩阵分析本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识.§5.1　向量与矩阵的范数从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用.一、向量的范数定义1　设是数域上维（数组）向量全体的集合，是定义在上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：1）非负性对中任何向量，恒有，并且仅当时，才有=0；2）齐次性对中任意向量及中任意常数，有3）三角不等式对任意，有，则称此函数（有时为强调函数关系而表示为） 为上的一种向量范数.例1　对中向量，定义＝

2、，则为上的一种向量范数[表示复数的模].证　首先，1）非负性　当时，；当时，；''2）齐次性　对任意及，有；3）三角不等式对任意复向量，有（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不等式）因此所以确为上的一种向量范数例2对[或]上向量定义，，则及都是[或]上的向量范数，分别称为1-范数和范数.证仅对后者进行证明.1）非负性当时，，又显然有；2）齐次性对任意向量及复数，　　　　　　　　　　3）三角不等式对任意向量''=.综上可知确为向量范数.上两例中的是常用的三种向量范数.一般地，对于任何不小于1的正数，向量的函数也构成向量范数，称为向量的范数.注（1）当时，（2）当时，为

3、2-范数，它是酉空间范数；当为实数时，为欧氏空间范数；由范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且，向量的范数并不仅限于范数.在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式，即：1、Hölder不等式　设正实数满足则对任意的有　　　　　　　　2、Minkowski不等式对任意实数,及有''（）.例3　设为维向量，则各种范数值差距很大.但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，称为范数的等价性.定理1设为有限维线性空间的任意两种向量范数（它们不限于范数），则存在正的常数,使对一切向量，恒有(1)证如果范数和都与一固定范数譬如2-范数满足式（1）的关系，

4、则这两种范数之间也存在式（1）的关系，这是因为若存在正常数和，使成立，则显然有令，则得式（1），因此只要对证明或（1）成立即可.设是维的，它的一个基是，于是中的任意向量可表示为从而，可视为n个变量的函数，记为，易证是连续函数，事实上，若令'',则..由于是常数，因此与充分接近时，就与充分接近，所以是连续函数.所以在有界闭集上，函数可达到最大值及最小值.因此在中，不能全为零，所以.记向量，则其坐标分量满足，因此，.从而有.但故.即.二、矩阵的范数定义2设是数域F上所有矩阵的集合，是定义在上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：对中任意矩阵、及''中任意常数总有1）

5、非负性并且仅当时，才有；2）齐次性；3）三角不等式；则称是上的一种矩阵范数.例4　对（或）上的矩阵定义，，，则都是（或）上的矩阵范数.实用中涉及较多的是方阵的范数，即的情形.定义3设是数域，是上的方阵范数.如果对任意的，总有，则说方阵范数具有乘法相容性.注意：在某些教科书上，往往把乘法相容性直接纳入方阵范数的定义中作为第4个条件，在读书时，只要注意到各自定义的内涵就可以了.例5对上的矩阵定义，则是一种矩阵范数，并且具备乘法相容性.证　非负性与齐次性显然成立，另两条证明如下：三角不等式''；乘法相容性，证得为矩阵范数且具有乘法相容性.并不是所有的方阵范数都具有乘法相容性.

6、例如对于上的方阵范数就不具备相容性条件.此时.取，则有，而.定义4如果阶矩阵的范数与维向量的范数，使对任意阶矩阵及任意维向量均有，则称矩阵范数与向量范数是相容的.定理2设是某种向量范数，对阶矩阵定义　　　　　　（2）则为方阵范数，称为由向量范数''导出的矩阵范数，而且它具有乘法相容性并且与向量范数相容.证首先可证，由（2）式定义的函数关系满足与向量范数的相容性.对于任意阶矩阵及维向量，当时，有，即（3）而当时，，于是总有（3）式成立.容易验证满足范数定义中的非负性、齐次性及三角不等式三个条件，因而是一种方阵范数.并且，对任意阶矩阵，利用（2）式和（3）式可得.即说矩阵范

7、数具备乘法相容性.一般地，把由向量范数导出的矩阵范数记作.下面看常用的三种矩阵范数：例6证明：对n阶复矩阵，有1），称为A的列和范数.2），称为A的行和范数.证　1）设.若A按列分块为则.任意维向量，有''于是，对任意非零向量有.以下证明存在非零向量使.事实上，设是第个分量为1而其余分量全为0的向量，则,且,即.2）的证明与1）相仿，留给读者去完成.例7　证明对阶复矩阵，有，这里是的奇异值，称此范数为的谱范数.证　设的全部特征根为不妨设.于是.因为为矩阵，故有酉矩阵，使得.如设则是相应于特征根的单位特征向量，即有　　　.对任意满足的复向量