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1、标准文档作业习题答案习题二2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。证明：方法一：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，
2、偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数=偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。方法二：对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为
3、“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。2.9将一个矩形分成(m+1)行列的网格每个格子涂1种颜色，有m种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。证明：（1）对每一列而言，有（m+1）行，m种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。（2）每列中两个单元格的不同位置组合有种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有种情况实用文案标准文档（3）现在有
4、列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。2.11证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。证明：将S划分为{1,3,5}，{7,9,11}……,{595,597,599}共100组，由鸽巢原理知任意选取101个数中必存在2个数来自同一组，即其差最多为4.2.12证明：从1~200中任意选取70个数，总有两个数的差是4，5或9。设从1~200中任意选取的70个数构成一组，即第一组：；第二组：；第三组：；显然，这三组数均在1~209之间，且共有3*70=210个数，根
5、据鸽巢原理一定有两个数相等，又因为任取的这70个数均不相同，所以这2个相等的数一定来自不同组，根据不同组的分布讨论如下：1）如果这两个数分别来自第一组和第二组，则有；2）如果这两个数分别来自第一组和第三组，则有；3）如果这两个数分别来自第二组和第三组，则有；得证。习题三3.8确定多重集的11-排列数？3.9求方程，满足的整数解的个数。3.10架上有20卷百科全书，从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少种？解：n=20，r=4，实用文案标准文档3.17一局乒乓球比赛中，运动员甲以11:7战胜运动员乙，若在比赛过程中甲从来没有落后过，求有多
6、少种可能的比分记录？解：根据题意，相当于求从点(0,0)到点(11,7)且从下方不穿过y=x的非降路径数，即为：3.211)会议室中有2n+1个座位，现摆成3排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多少种摆法？解：(1)方法1：如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。这相当于将n+1个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-(n+1)=n个座位任意分到3排中，这样的摆法共有种方案，所以符合题意的摆法有：方法2：设第一排座位有x1个，第二排座位有x2个，第三排座位
7、有x3个。x1+x2+x3=2n+1，且x1+x2≥(2n+1)/2，x1+x3≥(2n+1)/2，x2+x3≥(2n+1)/2，即x1+x2≥n+1，x1+x3≥n+1，x2+x3≥n+1，令y1=x1+x2-n-1，y2=x1+x3-n-1，y3=x2+x3-n-1，可知y1+y2+y3=2(2n+1)-3(n+1)=n-1且yi≥0，1≤i≤3。显然，x方程满足要求的解与y方程非负整数解一一对应，有种。方法3：要求每行非空如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里，不允许为空，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有
8、n+1个座位。这相当于将n个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-n=n+1个座位任意分到3排中，每排不允许为空，
