运用解直角三角形解决的实际问题

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1、运用解直角三角形解决的实际问题运用解直角三角形知识来解决应用问题，要在充分理解题意的基础上,将实际问题抽象为数学问题，建立起与解直角三角形知识有关的数学模型,计算时耍力求准确，并会按耍求的精确度进行近似计算.例1（聊城市中考题）美丽的东昌湖滨于江北水城以灵性，周边景点密布.如图所示，A,B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点.景点B在景点C的正东，从景点A看，景点B在北偏东75?方向，景点C在北偏东30?方向.一游客自景点A驾船以每分钟图120米的速度行驶了10分钟到达景点C,Z后又以同样的速度驶向景点

2、B,该游客从景点C到景点B需用多长时间（精确到1分钟）？分析：要求游客从景点C到景点B需用多长时间，需求CB的长，可通过解RtAADC和RtAADB分别求出DC、DB,从而利用CB?DB?DC求出CB,问题得解.解:根据题意，得AC?20?10?200.过点A作AD垂直于直线BC,垂足为D（如图2）.在RtAADC中，AD?AC-cos?CAD?200-cos30°?DC?AC・sin?CAD?200・sin30°?100・图2在RtAADB中，DB?AD•tan?BAD?75°・ACB?DB?DC?

3、°?100.ACB?75°?5?27.20即该游客自景点C驶向景点B约需27分钟.例2（娄底市屮考题）去年夏季山洪暴发，我市好几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45。时，可以确保山体不滑坡.某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF〃BC,斜坡AB长30米，坡角ZABC=60o.改造后斜坡BE与地面成45o角，求AE至少是多少米？（精确1/3到0.1米）分析：由已知，考虑过E作EN?BC于N,将?EBN?45°置于直角三角形中，在再通过解RtAADB和RtAENB,求

4、出DB、BN,再利用DN?DB?BN,求岀DN,问题得解.解：在RtAADB中，AB?30米，?ABC?60°AD?AB•sin?ABC?30?sin60°??25.98?26.0（米）,DB?15米.例2连接BE,过E作EN?BC于N,VAE/7BC,・•・四边形AEND是矩形.ANE?AD?26米.在RtAENB中，由已知？EBNW45°,当?EBN?45°时，BN?EN?26.0米.AAE?AD?BN?BD?26.0?15?ll米.所以AE至少是口米.例3（自贡市屮考题）如图所示，我市某中学数学

5、课外活动小组的同学，利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽.小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得ZCAD=45°,又在距A处60米远的B处测得ZCBA=30°，请你根据这些数据算出河宽是多少？（精确到0.01m）分析：此类问题的解题思路是构建直角三角形模型，一般需要将两个直角三角形联系起来，通过列方程解决问题.解：过C作CE丄AB于E,则CE为河宽.设CE=x（米），于是BE=x+60（米）・在RtABCE中，tan30°=CE,Ax=x+60.Ax=30（+l）^81.96（米）・EB例3所以河宽

6、约为81.96米.例4（资阳市中考题）一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形.现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1例4②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，2/3依次相间地种草与栽花.（1）求整修后背水坡面的面积；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？分析：解决本题的关键在于准确计算出幣修后背水坡面面积，然后比较种草与种花不同

7、的种植方案所需要的花费.解：（1）作AE丄BC于E.因为原來的坡度是1：0.75,所以AE14二.二EB0.753设AE二4k,BE=3k,所以AB=5k,又因为AB=5米，所以k二:L,则AE二4米.设整修后的斜坡长为AB，,由整修后坡度为1?AB?E=30°.AE1?,所以?AB所以AB'二2AE二8米•所以整修后背水坡面面积为90X8=720米2.（2）将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，则每一区域的面积为80米2・因为要依次相间地种植花草，有两种方案：第一种是种草5块，种花4块，需要20X5

8、X80+25X4X80=16000元；第二种是种花5块，种草4块,需要20X4X80+25X5X80=16400元.所以应选择种草5块、种花4块的方案，需要花费16000元・例5（长沙市中考题）如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图屮数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin27??0.45,cos27??0.89,tan27??0.