卫星大角度姿态机动控制的SOS设计

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1、2013年10月第5期中国空间科学技术ChineseSpaceScienceandTechnology卫星大角度姿态机动控制的SOS设计何朕孟范伟王广雄周荻(哈尔滨工业大学，哈尔滨150001)摘要由于卫星各轴角速度之间是相互耦合的，故当姿态作大角度机动时需要考虑其非线性的动力学特性。此外，表示姿态的运动学微分方程也是非线性的。针对这类非线性系统的控制设计，文章提出了一种采用平方和(sos)的综合方法。虽然s0S法是一种数值计算的方法，但文中表明设计结果却具有清晰的物理意义。所得的控制律可以视为是非线性版本的PD控制。由于修正Rodrigue

2、s参数(MRP)本身特性的关系，控制输入会出现峰值，因而文章提出了一种饱和设计。根据此类姿态系统的无源性本质，可以证明饱和下系统的响应是收敛的。同时，提出了一种利用对角优势的设计思路来减少SOS法的数值误差。SOS法可以求解不容易解析求解的非线性问题，具有广阔的应用前景。关键词平方和非线性控制控制系统综合姿态控制DOI：10．3780／j．issn．1000—758X．2013．05．011引言空间飞行器、水下航行器和机械手等在应用过程中，常要做出大角度快速机动。由于存在速度之问的交叉耦合，所以当大角度机动时，系统的刚体动力学是非线性的。非线

3、性系统分析中一般是采用Lyapunov函数来进行研究的，但是非线性系统的Lyapunov函数一般都是不容易构造的，尤其是缺少一种系统性的，又便于处理的设计方法。平方和(Sumofsquares，SOS)法是指采用SOS多项式来研究非线性系统。非线性问题中如果想采用高于二次型的Lyapunov函数，或者想设计高阶次的非线性控制律，就得研究一般形式的多项式。SOS法是一种数值求解的方法，类似于线性系统理论中的线性矩阵不等式(LMI)法，可以求解一些不容易解析求解的非线性方程式或不等式。通过SOS的求解可直接给出系统的Lyapunov函数和所要求的

4、非线性控制律。所以，从系统的设计方法来说，SOS法是一种综合法。本文将在Lyapunov函数的框架下将设计问题转换成SOS问题来进行求解。由于SOS法还是一个新的方法，介绍SOS的文献大多数是原理性的，一些算例也主要集中在非线性系统吸引域估计和镇定问题[1j，姿态控制方面的应用实例还较少。文献[2～4]的姿态控制虽然采用了SOS法，不过并不是采用Lyapunov函数，而是采用一种密度函数[5]。文献[6]介绍了SOS法在卫星大角度姿态控制上的一个应用。不过文献[6]在给出的控制律中还存在明显的缺失项，尤其是给出的每一通道的控制律，包含的项数都

5、高达20项以上(尚不计及缺失项)，文献[2]中的各控制律的项数也高达16项，给人的印象是SOS法的解(多项式)似乎只是各种组合的单项式的堆砌，看不出其中的物理含义，又不好实现。再加上一些新的概念和术语，使人对SOS法产生一种讳莫如深的感觉。本文将通过大角度姿态机动的控制设计说明，只要处置得当，SOS法实际上是一个很实用的非线性控制系统的综合工具。国家自然科学基金委创新研究群体科学基金(61021002)，国家自然科学基金(60674102，60374027)，国家自然科学基金重点项目(61034001)资助项目收稿日期：201301_07。收

6、修改稿日期：2013-03—06中国空间科学技术2013年10月2SOS方法SOS是指平方和多项式。多项式是由有限个单项式的线性组合所构成，p(x1，z2)一zi+2x{+2ziz2一z；z；+5x；式(1)由具有两个变量的5个单项式组成的。对一个多项式p(x，，⋯，果存在多项式厂-(x)，fz(x)，⋯，f。(工)可以使夕(x)写成平方和的形式，例如多项式：(1)z。)全夕(x)来说，如即乡(工)一∑∥(z)那么这样的多项式就称为SOS多项式，有时就简称为SOS。显然，每一个SOS多项式都是非负的，或表示成p(x)≥0。SOS多项式的集合用

7、∑Fx-]来表示，如果一个多项式是SOS的，就写成夕(x)E∑Ex3SOS多项式也可表示成下列的一种特殊的二次型形式夕(x)=ZT(x)QZ(工)式中Q是半正定的对称阵；z(x)是由阶数小于等于d的各单项式构成的列向量，而多项式户(x)的阶次则是不大于2d。例如对于式(1)的多项式来说，Z(x)一rl02，Q一010—1当用SOS方法来设计时，需要将对象的方程式整理成如下的状态依赖的类线性形式‘13主一A(J)x+B(x)u(2)式中xE嗯”，UE吨”分别为系统的状态变量和控制输入；A(x)和B(x)则都是X的多项式矩阵。当采用Lyapuno

8、v方法来研究时，设Lyapunov函数为二次型多项式，P>0V(x)=卫TPx(3)由于式(3)中的P阵是一常数阵，所以如果这个问题有解，那么所设计的系统将是全局稳