论文：费曼_海尔曼定理在教学中的应用_钱伯初

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1、教学研究费曼一海尔曼定理在教学中的应用钱伯初兰州大学曾谨言北京大学费曼(R.F.Feynman)一海尔曼(H.Hellma-可以证明n一,一_·n)定理又称费曼海尔曼关系发表于30年了宜1、二灯二vF‘·”(4)”代后期〔门.它应用极广,,2拜/合既可用作理论分析.又可用于具体计算。凡用维里定理可以处理的这就是维里定理证明方法通常是利用力学量,,,一算符的海森伯运动方程大家都很熟悉这里问题肯定都可以用费曼海尔曼定理(以下简.F一H.H一F不再重复称定理)来处理定理的用处远在维,,其实证明维里定理最简单的途径就是利里定理之上理应在量子力学教材中占有一席.一,地位.可惜国内外教材

2、中,讲到它的极少;即使用FH定理如下.r,〔2〕,,,(3)式中V()为经典势能与h无关提到也是轻轻一带而过未予充分论述,,.如视h为参变量根据F一H定理就有很难使读者留下深刻印象现从我们正在编写.,_,dE/口H/h的量子力学习题集中摘取部分内容向读者作叫万;-‘一万了=气/=一又一V/=,‘。/扼要介绍.以、LJ“/拼2/pZ’~。.,、一百厄万/一费曼海尔曼定理另,一方面如对坐标作尺度变换(这对能级没有设某量子体系的束缚态能级和归一化波函,r,影响)以R一/h作为坐标变量则哈密顿算数为E,,叻,,(。为量子数或编号数)它们是符可以写成定态薛定谬方,程的解即满足

3、方程一>V+不了hR)二H,,二。H__灵((3)H}劝>一El叻>=0(1)夕设久为哈密顿算符户含有的任何一个参数(如这时,,r--一普朗克常数h粒子质量召势能中表征作用dH~dVd‘‘花丽一万万一巧万vF“盆v厂‘,.,.,强度的参数等等)视久为参变量则E..叻均为只,只的函数(l)式对求导得到·一>、(“一‘,‘砂一“,,一(器鲁卜命!H的本征值仍为E则FH定理给出二-.(,,,,旦里/卫旦、一冬v。以<价}左乘上式即得(6)口无dh/“。。一,一‘2,、.比较(5)(6)式,即得维里定理鲁<{鲁卜><器>(4)式这个证,一,一,.明的优点是除用到FH定理外仅需尺度变(

4、2)式通常称为FH定理符号<>表示么,.换的概念完全用不着像海森伯运动方程这样态下的平均值的成套理论.二、关于维里定理的证明、一三利用FH定理分析能级构造如果体系的哈密顿算符可以表示成动能加势能..,,,,、,,,,舟ZZ_,、_、ph具体讨论两个典型例子+VrZ+Vr3)H=犷’()二一长牛,V()(子2、一‘’l拜2召例幂函数型中心力场”,,.’Vr=只r一,,,0产”‘“+)()2<(7)E二C刀(如只v

5、8),.一H一子爪红/hZ、岌不二2召‘十,二A人.I(18).、、2户/Z#:,其中刀二h/2由于V()与h无关所以刀—,.只是互相独立的参数.显A为无量纲纯数它一般是量子数的函数然,,.1一口d.月一召忍一拼dH由(8)式可知如作用强度1川增大{EIp一之式-,产;一犷9.,,刀一一()将随之增大久与则当v。{E}随根据FH定理对于任何一个束缚态均有随质量之增大而增大,一刀户之增大而减小;而由(8)式<芳)器(10)dH户2,-一/2产(又与户无关)(29)<。>一*户百二一器(11)一,由FH相加,即得定理对任何束缚态均有;<0‘

6、d,EdE20)刀一六;~十入一二E(12)盟一<芳>口Pd几,,.,-另一方面如以R=刀作为坐标变量则能量即粒子质量的增加总是导致能级下降,‘2,算符可以写成由(18)式还可看出如久oc丫则E与v’.,VZ*+只IZ二H(8‘召v一2H令一刀R)无关这方面的著名例子就是谐振子(显然1“.只一音户。)nv__2厂一口H户,万书一丁F、,=下一口尸‘用FH定理分析计算时可以如本例这,.,H只是H的另一种表现形式本征值不变故样将维里定理的导出和应用融为一体因此凡一,一由FH定理可得是用维里定理可以得出的结论用FH定理肯口E/。dH.=定也能得出二久P,万1犷答(13)

7、口尸‘2例粒子在对数函数型中心势场中运、,比较(10)(13)式即得.动p“/,,.···C(住升,二~14:(‘一>0‘一夕=(V>“’()2‘卜川拼/2(六).这正是维里定理(4)式的具体化.。,,。均与质量#无关试证明(i)各束缚态动、,,将(11)(13)式合并消去得到,.能平均值相同(ii)能级间距与粒子质量无dEvdE~.,哥二凡一,二人,:;尸(15)二关OP20人1512,这是1981年CUSPEA考试中最引人瞩目将()式代入()式即得的难题.F一H,1+“d君_但