高数导数的应用习题集与答案解析

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1、一、是非题：１．函数在上连续，且，则至少存在一点，使．错误∵不满足罗尔定理的条件。２．若函数在的某邻域内处处可微，且，则函数必在处取得极值．错误∵驻点不一定是极值点，如：，是其驻点，但不是极值点。３．若函数在处取得极值，则曲线在点处必有平行于轴的切线．错误∵曲线在点有平行于轴的切线，但不是极值点。４．函数在内无极值．正确∵，函数在内单调增，无极值。５．若函数在内具有二阶导数，且，则曲线在内单调减少且是向上凹．正确二、填空：１．设（为常数）在处有极值，则　（　　　），（　　　）．∵，当时，，，解之得２．函数的极值点是（　　　）．∵，令

2、，得。又，；，，∴函数在取得极小值。３．曲线的拐点是（　　　　　）．∵，，令，得。又，；，，∴函数的拐点是。４．曲线的凸区间是（　　　　）．∵，，使无意义的点为。当时，，∴曲线的凸区间是。５．若，则（　1　），（　1　）．∵，即又当时，～，∴。三、选择填空：１．下列函数中，在区间上满足罗尔定理条件的是（c．）　a．　　b．　　c．　　d．∵在端点的值不相等；在区间上不连续；对在不可导；在区间上满足罗尔定理的条件。∴c是正确的。２．罗尔定理的条件是其结论的（　a．）a．充分条件　　　b．必要条件　　　　c．充要条件３．函数在区间上（　

3、a．）a．满足拉格朗日定理条件　　　b．不满足拉格朗日定理条件∵，，∴函数在连续，函数在上连续。∵，∴函数在可导，函数在上可导。∴函数在上满足拉格朗日定理条件，因而a是正确的。４．设在有二阶导数，，，则在处(a．)a．不能确定有无极值　　　b．有极大值　　　　c．有极小值５．设函数在具有二阶导数，且，则在内是（a．）a．单调增加的　　　　　b．单调减少的∵（∵）∴在内是单调增加的，因而a．是正确的。　６．函数的连续但不可导的点（d．）a．一定不是极值点　b．一定是极值点　c．一定不是拐点　　d．一定不是驻点四、计算题：１．　　解2．

4、解３．解４．解５．　解原式６．解７．解８．解９．解10．求函数的极值．解定义域为R对函数两边取自然对数得（不妨设）所以令，得；，为不可导点列表＋不存在＋0－不存在＋拐点极大值极小值所以极大值为，极小值为．11．若直角三角形的一直角边与斜线之和为常数，求有最大面积的直角三角形．解设两直角边分别为、，则面积（）设常数为．由，得．所以（），令，得，所以驻点唯一，故当两直角边分别为，时直角三角形的面积最大．12．求乘积为常数，且其和为最小的两个正数．解设其中一正数为、则另一正数为；设这两个正数之和为．（），令，得驻点唯一，故当两个正数均为时

5、其和为最小．13．设圆柱形有盖茶缸V为常数，求表面积为最小时，底半径与高之比．解底半径为，则高为；设表面积为．；，令，得驻点唯一，故当底半径，高时表面积为最小．