（通用版）2020高考数学一轮复习 2.7 对数与对数函数讲义 理

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1、第七节对数与对数函数1．对数概念如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式．其中常用对数：log10N⇔lgN；自然对数：logeN⇔lnN性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN❶loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N运算loga(M·N)＝logaM＋logaNa＞0，且a≠1，M＞0，N＞0loga＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1，c＞0，

2、且c≠1，b＞0)2．对数函数的图象与性质函数y＝logax(a＞0，且a≠1)a＞10＜a＜1图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的性质定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0谨记运算法则有关口诀积的对数变加法；商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前.①对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且

3、过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．②在直线x＝1的右侧，当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．③函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称.[熟记常用结论]1．换底公式的两个重要结论(1)logab＝；(2)logambn＝logab.其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m≠0，n∈R.2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数

4、逐渐增大．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)(2)log2x2＝2log2x.(　　)(3)当x＞1时，logax＞0.(　　)(4)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×二、选填题1．函数y＝lg

5、x

6、(　　)A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函

7、数，在区间(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增解析：选B　y＝lg

8、x

9、是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．2．已知a＞0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)解析：选B　函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.3．函数y＝的定义域为______．解析：要使函数有意义，须满足解得＜x≤1.答案：4．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．解析：当x＝2时，函数

10、y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．答案：(2,2)5．计算：log23·log34＋()log34＝________.解析：log23·log34＋()＝·＋3＝2＋3log32＝2＋2＝4.答案：4[题组练透]1．设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n的值为________．解析：由已知得a2m＋n＝a2loga2＋loga3＝aloga4＋loga3＝aloga12＝12.答案：122．已知log189＝a,18b＝5，则log3645＝________(用关于a，b的式子

11、表示)．解析：因为18b＝5，所以log185＝b，又log189＝a，于是log3645＝＝＝＝.答案：3．计算：(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)；(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．解：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝＝＝－.(3)原式＝log32·log43＋log32·log83＋log92·log43＋log92·log83＝·＋·＋·＋·＝＋＋＋

12、＝.[名师微点]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；(4)利用常用对