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1、14思考与练习1.什么叫张量？张量有什么性质？答：张量：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合，称为张量，需要用空间坐标系中的三个矢量，即9个分量才能完整地表示。它的重要特征是在不同的他标系中分星之间可以用一定的线性关系来换算。基本性质：1）张量不变量张量的分量一定可以组成某些函数5）,这些函数值与处标轴无关，它不随处标而改变，这样的函数，叫做张量不变量。二阶张量存在三个独立的不变量。2）张量可以叠加和分解儿个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一个同阶张量。两个相同的张量Z差定义为零张量。3）张量可分为对称张量、非对称
2、张量、反对称张量若张量具有性质P厂P"，就叫对称张量；若张量具有性质©二一心，月.当i二j时对Pij北Pji应的分量为0,则叫反对称张量；如果张量，就叫非对称张量。任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量。4）二阶对称张量存在三个主轴和三个主值如果以主轴为坐标轴,则两个下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标相同的三个分量，叫作主值。2.如何表示任意斜微分面上的应力?答：若过一点的三个互相垂直的微分而上的九个应力分量已知，则借助静力平衡条件，该点任意方向上的应力分量可以确定。如图14-1所示，设过Q点任一斜切面的法线N与
3、三个坐标轴的方向余弦为Lm,n,l=cos(N,x);m=cos(N,y);n=cos(N,z)o若斜微分面ABC的面积为dF,微分面OBC(x面)、OCA(y面)、OAB(z面)的微分面积分别为dFx、dFy、dFz,则各微分面之间的关系为dFx二ldF；dFy二mdF；dFz二ndF图14-1任意斜切微分而上的应力又设斜微分ABC±的全应力为S,它在三坐标轴方向上的分量为Sx、Sy、Sz,由静力平衡条件工得：SxdF-axdFx-ryxdFv-rzxd^=0整理得、Sx++Sy=-S7=TXJ+Tyjn+(7(14-6)Q，j=
4、x,y,z)显然，全应力s2二s：+s?+s用角标符号简记为斜微分面上的正应力b为全应力s在法线N方向的投影，它等于X,G在N方向上的投影之和，即a=Sxl+Sym+S.n=axl2+cyym2+cr.7?2+2(rxylm+ty.inn4-i-xnl)(]4_7)斜切微分面上的切应力为厂=S?-/(14-8)所以，已知过一点的三个正交微分面上9个应力分量，可以求出过该点任意方向微分面上的应力，也就是说，这9个应力分量可以全面表示该点应力状况，亦即可以确定该点的应力状态。1.应力张量不变量如何表达？答：应力张量的三个不变量为J
5、=O
6、*
7、+O*2+b3J9=
8、O"9+O*9O*3+O*3b])>丿3=(Jl(J2(J3,其中人、丿2、厶为应力张量第一、第二、第三不变量。2.应力偏张量和应力球张量的物理意义是什么？答：应力：在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作用的力，称为内力。单位面积上的内力称为应力，可采用截面法进行分析应力球张量：也称静水应力状态，其任何方向都是主方向，且主应力相同，均为平均应力。特点:在任何切平面上都没有切应力，所以不能使物体产生形状变化,而只能产生体积变化，即不能使物体产生塑性变形。应力偏张量：是由原应力张量分解出应力球张量后得到的
9、。应力偏张量的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等都与原应力张量相同。特点：应力偏张量只使物体产生形状变化，而不能产生体积变化。材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。1.平面应力状态和纯切应力状态有何特点？答：平面应力状态的特点为：变形体内各质点与某坐标轴垂直的平面上没有应力。纯切应力状态:2.等效应力有何特点？写出其数学表达式。答：等效应力的特点：等效应力不能在特定微分平面上表示出来，但它可以在一定意义上“代表”整个应力状态中的偏张量部分，因而与材料的塑性变形密切有关。人们把它称为广义应力或应力强度。等效应力也是一个不变量。
10、其数学表达式如下：等效应力在主轴坐标系中定义为在任意坐标系屮定义为b=_bv)2+((T>.-O-J2+(q+6(rxy2+ryz24-r^2)1.已知受力物体内一点的应力张量为‘505080、bij=500-75&0-75-30,(MPa),试求外法线方向余弦为l=m=l/2,n=沧的斜切面上的全应力、正应力和切应力。解：设全应力为S,s’，八分别为S在三轴屮的分量,、Sx+Sy=txyl+crym+rzyn>Sz=rxzl+ryJn+cy：n则有：504+80x=106.61vr=-28.0^=80xl-75xl-30x丄二-1
11、8.7V252=s；+s：+s3xyc(7=SJ+SvM+S/则得到S=111.79MPa则得到b=26・1MPa而r2=S2-
