凹面镜聚光论文

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1、凹面镜聚光问题参赛队员刘超钧，2220103631,数学系，数学与应用数学。杨必万，2220103754,数学系，数学与应用数学。张大荣，2220103987,数学系，信息与计算科学。摘要本文探讨的是关于球而凹而镜不能将所有平行于主轴的光线反射Z后聚于一点及找出合理的凹面镜形状的问题，并给出球面和抛物面反射镜的证明。一、证明反射面为球面的凹面镜将平行与主光轴的光线反射后汇聚于一点称Z为焦点。这一说法不成立。利用平而中平行与主光轴的光线射入一半圆经过一次反射后的光线不是全部通过同一焦点，下面将给出证明。（中学物理中关于儿何光学所说，反射面为球面的凹面镜将平行于主

2、光轴的光线反射之后汇聚于一点称之为焦点。）将平面半闘拓展到空间中，若反射镜为球面凹面镜则平行于主光轴的平行光束经过反光镜一次反射后不是全都经过球而凹而镜的焦点。二、证明镜面应该设计成抛物面的形状。根据高屮教材《圆锥曲线》屮的结论：“设一抛物线的方程为x2=2py,则所冇平行于y轴的直线经过抛物线的一次反射后都经过其焦点”（下面将会给出此结论的详细证明）同样将此结论推广到空间中冇：所冇平行于抛物面反光镜主轴的平行光束经过抛物面的一次反射后比经过此抛物面的焦点。三、关于一切反射镜的结论全都基于光源为理想点光源的情况下，即忽略光源的大小，但在实际生活中光源有实际大小

3、，将一个空间的光源分成无数个电光源,除了球心的电光源是在焦点上以外其余的光源都是在焦点外部，故经过反射面一次反射后的光线一定与主光轴冇一定偏差，下而的论证中将定量的分析反射光线与主光轴的角度偏差3。四、关于凸透镜的结论：凸透镜的重要特性是对入射光线的平行光束有汇聚作用。当光源位丁•凸透镜一侧的焦点时，由光源发出的发散的光线，经过凸透镜的折射后变成平行与主光轴的平行光线。首先来证明反射面为球面的凹面镜将平行于主轴的光线反射之后汇聚于点不一定严格成立。1若此定理在平面屮不成立则在空间屮亦不成立2下面给出在平面中不成立的证明：如上图所示，一束平行于y轴的光线x=m射

4、入半圆M点并经反射交y轴于P点，直线PM与x轴正方向夹角为0,直线0M与x轴夹角为a,Q为OR的屮点。设半圆方程:兀2+y2=r2(y^O)一串x=m的光线射向球而M点并反射且M(m,J八一in?)贝ijtanamPM的方程tan(2cr+—)(x-m)=y-7^2-m2令x=0则y=Vr2-m2-mtan(2a+—)由r>m>0得当m趋近于r时，反射光线与y轴的交点在Q点与R点Z间且趋近于R点；当m趋近于0时，反射光线与y轴的交点趋近于Q点。即，在半圆角角度要求很大的情形下，平面半圆不能使光线汇聚于一点。3、将此结论拓展到空间中，球面凹面镜即为将半圆绕Y轴绕

5、转一圈所得曲面，故射入球面凹面镜的平行于主轴的光线经过一次反射后不能汇聚到一焦点上。二、验证镜面应该设计成抛物面的形状1、下面依旧从平面出发，证明平面抛物线能将平行与主轴的光线汇聚到一焦点Ji：设抛物线方程为x2=2py,焦点为F(2,0)2一束平行于歹轴的光射到抛物线的M点并反射，此光束的方程设为兀二。，联立两方程得M(a,—).2p抛物线在M点的切线斜率为k-y'=(―)'=—2pP2则切线方程为(y-—)=—(x-tz)2pP设兀与法线夹角为则反射线与x轴正方向夹角为(2q-兰)2设反射线斜率为k',就有k'=tan(2cr-—)=-cot2a22故反射

6、线方程为(y-—)=k'(x-a)2pXtan=—=/:P则反射线方程可化为(y-—)=-cot26f(x-(2)2p21*2217727即"釘加一咲話甘垮-筈(Z22_2令则有尸劭+号这就说明无论。为何值，反射光线均经过焦点F2、曲于抛物线在平面中冇此性质下面讲此性质拓展到空间中冇：抛物面是由方程b二2px的抛物线绕X轴旋转一周形成的，它的焦点F位于（左，0）上，确定了一个抛物面的焦距，则这个抛物面的面型就确定了。2三、上述情况中均将光源看作点光源而未考虑到光源在实际中的大小问题1理论上，抛物而反光镜能将发至焦点的任何光线反射成平行与光轴的光线-…准直光线。

7、反光镜应尽可能多的收集发至光源的光线，使其变成准直光线。因此,在设计反光镜吋，应该在加工工艺允许的情况下尽量增大反光镜的包容角。（见在反光镜通光口径相同的情况卜，Q反映了反光镜对光线的包容能力，Q越大，反光镜所能容纳的光线就越多，就可以将更多的发至光源的无规则光线变成准一直光线。如图a中反光镜的集光性能就比b的要强，当然前提是反光表面的曲率半径要足够精确。只冇高精度的凹面镜，并不能保证产生清晰的准直光线，还冇一个必要的条件是发光点很小的光源。如前所述，抛物面凹透镜能将发至焦点的光线准直。然而，任何光源都不可能是也个点，都冇一定的体积。图2中a是理想的电光源的反

8、射情况，b则是有限光源的反射情况，可以