中考数学压轴题破解策略专题19《中点模型》

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1、专题19《中点模型》破解策略1.倍长屮线在中.〃为％边的中点.图1图2(1)如图1,连结仙并延长至点使得ME=AM.连结处则厶(2)如图2,点〃在肋边上，连结创并延长至点E.使得MF=DM.连结殆则△別财遇到线段的屮点问题，常借助倍长屮线的方法还原屮心对称图形，利用“8”字形全等将题中条件集中，达到解题的冃的，这种方法是最常用的也是最重要的方法.1.构造中位线在厶ABC^.〃为弭〃边的中点，4A图1图2(1)如图1,取〃。边的中点E,连结％・隗DE〃BC,且DF=-Bu.2(2)如图2.延长力至点尺使得CF=HZ.连结⑦AF.则DC

2、//AF,且DC=-AE.2三角形的屮位线从位置关系和数量关系两方而将将图形屮分散的线段关系集屮起来.通常需耍再找一个中点来构造中位线，或者倍长某线段构造中位线，1.等腰三角形“三线合一”如图，在厶屮，若A/^=AC.通常取底边傥'的中点D.则ADJBC,且初平分ZZMC.事实上，在厶ABC屮:①AB=AC；②力〃平分ZBAC；③BD=CD,④AD1氏.对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”.2.直角三角形斜边中线如图，在看，ZMC=90°,取M的中点〃，连结加，则有BD=AD=CD=-AC.2

3、反过来，在中，点〃在化边上，若BD=AD=CD=-Aa则有ZABC=^例题讲解例1如图，在四边形/WC〃中，E、F分别是個、〃的中点，过点F作外〃的垂线，过点厂作①的垂线，两垂线交于点E连结力0、BG、且/AGD=ZBGC,若AD、力所在直线互相垂直，求型的值EF解由题意可得防和△〃兀为共顶点等顶角的两个等腰三角形，所以厶/lG也△BGC,EGF.方法一：如图1,连结Q?并延长到〃，4吏EH=EC,连EH、AH,则AH//BCAH=BC,而AD=BC,ADIBC所以AD=AH,ADIAH,连结ZW,则△肋〃为等腰直角三角形，又因为

4、£尸分别为67/、CD的中点,所以於说w2方法二：如图2,连结血并取中点//,连结刃/,FII.则刃/=丄初，且EII//AD,FH=-BQ22而AD=BC,ADLBC,所以△刃沪为等腰直角三角形，所以—=^^=^2EFEFGr如图,在△肋C中，尿=22,BDA.AC于点ACELAB于圧F、Q分别是〃G处的屮解：连结以；DF.由题意可得以；M分别为RT'BEC,RT'BDC斜边的中线，所以DF=EF-BC=n,而G为加的中点，所以DG=EG=5,FGIDE,所以RT'FGD中,FG=JDF?_DG，2例3已知：在RT4ACB和的△处

5、尸屮，ZACB=ZAEF=9”,若戶是处的中点，连结/乞、PE（1）如图1，若点E、F分别落在边ME、上，请直接写11!此吋％与肱的数量关系.（2）如图2,把图1中的△昇防绕着点昇顺时针旋转，当点E落在边以的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.（3）如图3,若点尸落在边力〃上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不解（1）易得PC=PE=、BF,即/七与/为相等.2（2）结论成立.理由如下：如图4,延长〃交防的延长线于点〃，则BC〃FD,易证△〃心△〃〃，所以PC=PD,而ZCED=Z,

6、所以溜=丄CD=PC2CDB（3）结论仍成立，理由如下：如图5,过点F作/7?〃优，交彷的延长线于点〃，易得PD=PC,FD=BCrrMAEEFEF所以一=—=—ACBCFD而ZAFE=ZPBC=ZPFD,所以Z胡C=180°—2ZAFE=ZEFD,如图，连结必；ED,则厶EACsHEFD,所以乙AEC=ZFED、ZCED=乙AEF=9”、嗣PE=*D=PCr例4已知：△/』％是等腰三角形，Z刃Q=900,DEICE,DE=CE=丄AC,连结处，〃是处2的中点（1）如图1,若〃在△肋Q的内部，连结血N是加的中点，连结朋；腸，求ffi

7、：MNLAE（2）如图2,将图1屮的/物绕点C逆时针旋转，使ZBCD=3",连结血"是肋的中点，连结协；求空ACD解：（1）如图3,延长至点尸，使得AF=.W,连结皿，易证△〃励空△朋V,从而可得BF//DE,BF=DE,延长阳CE交于点、G,则Z^=90°,从而久B、G、C四点共圆所以上ABF=/ACE,连结〃；所以△ABF^/XACE（S/!S）,所以AF=AE,AFA.AE,而侧〃力尸所以必匸丄屁；例丄肋2G(2)如图4,同(1)可得，MN=—AE,爪LAE,由题意可得AC=2CE,作EH丄AC于"，则2ZFG/=600,所

8、以CH=-EC=-AaEH=—AC从而AE=ylAH2+EH2=—AC,所以2442MN_y/l_V进阶训练1.如图，△肋〃和都是直角三角形，其中ZABD=ZACE=90°,且点C在AB上,连结加，“为加的屮点，连结册，CM,求证：B