2019高考数学二轮复习 第一篇 微型专题 微专题20 直线与抛物线的综合练习 理

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1、20　直线与抛物线的综合1.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1+x2=43,则弦AB的长为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　A.4B.163C.103D.83解析▶　抛物线的焦点弦公式为

2、AB

3、=x1+x2+p,由抛物线方程可得p=2,则弦AB的长为x1+x2+p=43+2=103,故选C.答案▶　C2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,若直线AF的斜率k=-3,则线段PF的长为(

4、　　).A.4B.5C.6D.7解析▶　因为抛物线的方程为y2=6x,所以焦点为F32,0,准线方程为x=-32.因为直线AF的斜率k=-3,所以直线AF的方程为y=-3x-32.当x=-32时,y=33,即A-32,33.因为PA⊥l,A为垂足,所以点P的纵坐标为33,代入抛物线方程,得点P的坐标为92,33,所以

5、PF

6、=

7、PA

8、=92--32=6,故选C.答案▶　C3.已知抛物线C:y2=x,过点P(a,0)的直线与C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OA·OB<0,则实数a的取值范围是(　　).A.(-∞

9、,0)B.(0,1)C.(1,+∞)D.{1}解析▶　设直线方程为x=my+a,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=my+a代入抛物线方程得y2-my-a=0,所以y1y2=-a,x1x2=(y1y2)2=a2.由OA·OB=x1x2+y1y2=a2-a<0,解得a∈(0,1),故选B.答案▶　B4.已知点P(-1,4),过点P恰好存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,则抛物线C的标准方程为(　　).A.x2=14yB.x2=4y或y2=-16xC.y2=-16xD.x2=14y或y2=-16x解析▶　

10、∵过点P(-1,4)恰好存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,∴点P一定在抛物线C上,两条直线分别为一条切线,一条与抛物线的对称轴平行的直线.若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=2px,将P(-1,4)代入方程可得2p=-16,则抛物线C的标准方程为y2=-16x;若抛物线焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=2py,将P(-1,4)代入方程可得2p=14,则抛物线C的标准方程为x2=14y.故选D.答案▶　D能力1▶　会用“设而不解”的思想求直线与抛物线中的弦长、面积【例1】　直线y=k(x-1)与抛物

11、线y2=4x交于A,B两点,若

12、AB

13、=163,则k=　　　　. 解析▶　设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线经过抛物线y2=4x的焦点,所以

14、AB

15、=x1+x2+2=163,所以x1+x2=103.联立y2=4x,y=k(x-1),得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=2k2+4k2=103,所以k=±3.答案▶　±3凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时,一般运用定义转化为到准线的距离处理.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,由定义易得

16、PF

17、=x0+p2;若过焦点的

18、弦AB的端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长

19、AB

20、=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.已知过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若

21、AB

22、=16,且

23、AF

24、<

25、BF

26、,则

27、AF

28、=　　　　. 解析▶　由题意可设过抛物线y2=8x的焦点F的直线方程为y=k(x-2).联立y2=8x,y=k(x-2),得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+

29、x2=4k2+8k2.∵

30、AB

31、=16,∴x1+2+x2+2=16,即4k2+8k2=12.∴k2=1,则x2-12x+4=0,∴x=6±42.∵

32、AF

33、<

34、BF

35、,∴x2=6+42,x1=6-42,∴

36、AF

37、=6-42+2=8-42.答案▶　8-42能力2▶　会用方程的思想求直线与抛物线中的有关几何量【例2】　已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,y0)到焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)已知抛物线上一点M(n,4),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MD⊥ME,判断直线

38、DE是否过定点,并说明理由.解析▶　(1)由题意设抛物线的方程为y2=2px,其准线方程为x=-p2,∵P(4,y0)到焦点的距离等于其到准线的距离,∴4+p2=5,∴p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)可得点M(4,4),直线DE的斜率不为0,设直线DE的方程为x=my+t,联立x=my+t,y2=4x,得y2-4my-4t=0,则Δ=16m2+16t>