2019-2020年高中数学2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系课堂探究新人教B版必修

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1、2019-2020年高中数学2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系课堂探究新人教B版必修探究一直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判断方法：(1)(几何法)由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；(2)(代数法)根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；(3)(直线系法)若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．【典型例题1】(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　)A.l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能解析：(方法一)

2、圆C的方程是(x－2)2＋y2＝4，所以点P到圆心C(2,0)的距离是d＝1＜2，所以点P在圆C内部，所以直线l与圆C相交．(方法二)将点P的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜0，所以点P(3,0)在圆内，所以过点P的直线l与圆C相交．答案：A(2)已知动直线l：y＝kx＋5和圆C：(x－1)2＋y2＝1，则当k为何值时，直线l与圆C相离？相切？相交？解：(方法一)(代数法)联立得方程组得(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0，则Δ＝(10k－2)2－4(k2＋1)·25＝－40k－96，所以当直线l与圆C相离时，－

3、40k－96＜0，即k>－；当直线l与圆C相切时，－40k－96＝0，即k＝－；当直线l与圆C相交时，－40k－96>0，即k＜－.(方法二)(几何法)圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径r＝1.设圆心C到直线l的距离为d，则d＝.当d>r，即>1时，k>－，此时直线l与圆C相离．当d＝r，即＝1时，k＝－，此时直线l与圆C相切．当d＜r，即＜1时，k＜－，此时直线l与圆C相交．探究二弦长问题1．直线被圆所截得的弦长问题多利用半弦、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形来处理．2．若用代数法求弦长，请参考基础知识自主梳理中“3

4、”．【典型例题2】求直线y＝x被圆(x－2)2＋(y－4)2＝10所截得的弦长．思路分析：求直线被圆所截得的弦长的方法：一是利用弦心距、半径和半弦所构成的直角三角形，二是用弦长公式．解法一：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d＝＝.于是，弦长为2＝2＝4.解法二：联立方程y＝x与(x－2)2＋(y－4)2＝10，得x2－6x＋5＝0.①设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两个根，于是由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，x1x2＝5，则

5、AB

6、＝＝4.探究三圆的切线问题求过圆外一点的圆的切线的三种常用方法：(

7、1)设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率；(2)设切点坐标，利用切线的性质解出切点坐标，由直线方程的两点式写出直线方程；(3)设切线斜率，利用判别式等于零，解出斜率．对第(1)和(3)两种方法应用时务必注意切线斜率不存在的情形．【典型例题3】已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝__________.解析：由题意，得圆心C(1,0)，半径r＝1，则＝1，解得m＝8或－18.答案：8或－18探究四与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题，可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置，再进行计算．有些与圆有关的最值问

8、题涉及是否过圆心，有时注意考虑表达式中字母的几何意义，如两点间距离公式、斜率公式、在y轴上的截距等．【典型例题4】已知实数x，y满足y＝，求m＝及b＝2x＋y的取值范围．思路分析：y＝可化为x2＋y2＝3(y≥0)，即以(0,0)为圆心，半径为的半圆，m＝＝，可看作半圆上的点与点(－3，－1)连线的斜率；b可看作与半圆相交的直线2x＋y－b＝0在y轴上的截距．解：y＝表示以原点为圆心，半径为的上半圆，m＝表示过点(－3，－1)和(x，y)的直线的斜率，如图(1)所示．图(1)　　　图(2)可知kAB≤m≤kAC.所以kAB＝＝.因为AC与半圆x

9、2＋y2＝3(y≥0)相切，所以kAC＝.所以m的取值范围是.由b＝2x＋y，知b表示直线2x＋y－b＝0在y轴上的截距，如图(2)所示．可知直线b＝2x＋y一定位于两直线l1与l2之间．由直线l2与半圆相切，得b＝，由直线l1过D(－，0)，得b＝－2.故b的取值范围是[－2，]．点评本题解决的关键是理解m和b的几何意义，同时要借助分界线探求参数的取值范围．探究五易错辨析易错点：因忽视斜率不存在的情况而致误【典型例题5】若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．错解：设直线l：y－3＝k(x－2)，即

10、kx－y＋3－2k＝0.因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以＝1，所以k＝.所以直线l的方程为12x－5y－9＝0.错因分析：忘记讨