2018-2019学年高中数学 第三章 变化率与导数 3.3 计算导数作业1 北师大版选修1 -1

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1、3.3计算导数[基础达标]1.已知函数f(x)＝，则f′(2)＝(　　)A．4B.C．－4D．－解析：选D.f(x)＝x－2，f′(x)＝－2x－3，f′(2)＝－2×2－3＝－2－2＝－.2.已知函数f(x)＝cosx，f′(x)＝－1，则x＝(　　)A.B．－C.＋2kπ，k∈ZD．－＋2kπ，k∈Z解析：选C.f′(x)＝－sinx，则sinx＝1，∴x＝＋2kπ，k∈Z.曲线y＝xn(n∈N＋)在x＝2处的导数为12，则n等于(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选C.∵y′＝nxn－1，∴函数y＝xn(x∈N＋)在x＝2处的导数为n·2

2、n－1＝12，∴n＝3.已知f(x)＝lnx，则f(1)＋f′(1)＝(　　)A．1B．－2C．0D．2解析：选A.f(1)＝ln1＝0，f′(x)＝，f′(1)＝1，∴f(1)＋f′(1)＝0＋1＝1.若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝(　　)A．x4B．x4－2C．4x3－5D．x4＋2解析：选B.设f(x)＝xn＋c，则f′(x)＝nxn－1＝4x3，∴n＝4，∴f(1)＝1＋c＝－1，∴c＝－2，故f(x)＝x4－2.设正弦曲线y＝cosx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是____

3、____．解析：kl＝(cosx)′＝－sinx∈[－1，1]，又倾斜角范围是[0，π)，∴倾斜角范围是[0，]∪[，π)．答案：[0，]∪[，π)若指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足f′(1)＝ln27，则f′(－1)＝________．解析：f′(x)＝axlna，f′(1)＝alna＝3ln3，∴a＝3，故f′(－1)＝3－1ln3＝.答案：8.已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________．解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝，由题意2x－＝1，即2x2－x－1＝0，∴x＝1或x＝－(

4、舍)．答案：19.求曲线y＝与抛物线y＝的交点坐标，并分别求在交点处的两曲线的切线的斜率．解：由，得＝，∴x3＝1，∴x＝1，∴y＝1，∴两曲线的交点坐标为(1，1)．由y＝，得y′＝(x－1)′＝－x－2，∴该曲线在点(1，1)处的切线的斜率k1＝y′

5、x＝1＝－1.又由y＝，得y′＝(x)′＝x－，∴该曲线在点(1，1)处的切线的斜率k2＝y′

6、x＝1＝.10.若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，求a－b的值．解：依题意得：f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(

7、0)，即－asin0＝2×0＋b，∴b＝0.m＝f(0)＝g(0)＝1，即m＝a＝1，因此a－b＝1.[能力提升]设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2014(x)等于(　　)A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：选B.f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)＝cosx，f2(x)＝f′1(x)＝－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝－cosx.f4(x)＝f′3(x)＝sinx.∴f2014(x)＝f2(x)＝－sinx.2.设函数f

8、(x)＝D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1，0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．解析：f(x)在(1，0)处的切线方程为y＝x－1，如图，可行域为阴影部分，易求出目标函数z＝x－2y的最优解(0，－1)，即z的最大值为2.答案：23.已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大．解：设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，所以

9、AB

10、为定值，要使△AB

11、P的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y＝，y′＝，由题意知kAB＝.∴kl＝＝，即x0＝1，∴y0＝1.∴P(1，1)．4．讨论关于x的方程lnx＝kx的解的个数．解：如图，方程lnx＝kx的解的个数就是直线y＝kx与曲线y＝lnx的交点的个数．设直线y＝kx与y＝lnx相切于P(x0，lnx0)，则kx0＝lnx0.∵(lnx)′＝，∴k＝，kx0＝1＝lnx0.∴x0＝e，k＝.结合图像可知：当k≤0或k＝时，方程lnx＝kx有一解．当0

12、，方程lnx＝kx有两解．当k>时，方程lnx＝kx无解．