解析函数的泰勒级数展开

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1、第三章幂级数展开§3、1复数项级数§3、2幂级数§3、3泰勒级数展开§3、5洛朗级数展开§3、4解析延拓§3、6孤立奇点的分类1第三章幂级数展开重点1、求幂级数收敛半径的方法2、复变函数Taylor展开条件与展开方法3、复变函数Laurant展开条件与展开方法4、极点阶数的确定。2§3、1复数项级数一、复数项级数定义及其收敛判据二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质三、级数绝对收敛性的常用判别法3一、复数项级数定义及其收敛判据复数项级数定义：⑴每一项均为复数⑵实数项级数是复数项级数的特例⑶一个复数项级数可转化

2、为两个实数项级数来讨论说明：(4)复变函数项级数是复数项级数的一种。42、复数项级数的收敛判据---Cauchy收敛判据⑴实数项级数的收敛定义如果实数项级数的部分和序列有极限S，即=S收敛。......则称级数收敛。这极限S称为这级数的和反之，称为发散。5收敛的充分必要条件为成立。对于任意给定的正数,总存在自然数N使得当n>N时，对于任意的自然数p都有：（2）实数项级数Cauchy收敛原理级数证明见高等数学教材。说明从n＞N后面项的和为一小数，所以收敛。6则称级数收敛。（3）复数项级数的收敛定义如果复数项

3、级数的部分和序列有极限S，即=S......这时极限S称为这级数的和反之，称为发散。7级数收敛的充分必要条件为成立。对于任意给定的正数,总存在自然数N使得当n>N时，对于任意的自然数p都有：（4）复数项级数Cauchy收敛原理说明从n＞N后面项的和的模为一小数，所以收敛。证明略由给定，存在N，和N一一对应关系8二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质1)绝对收敛：⑴绝对收敛定义，……为绝对收敛级数。收敛，则称这个级数的各项模、….由复数级数组成的新级数或写为9b.如果级数和是绝对收敛的，则它们的乘积也是绝对收敛

4、的。c.改变绝对收敛级数的各项先后次序其和不变。和相同a.如果级数是绝对收敛的，则该级数收敛。——充分条件常用判断级数绝对值收敛的方法来判断级数的收敛⑵性质：10成立。则称级数为一致收敛。2）一致收敛及其性质：⑴一致收敛定义：如果级数是定义在区域B（或边界线L）上，则在区域B（或L）上的各点z，对于给定的小正数，存在与z无关的正整数N,使得n>N时，对于任意的自然数p恒有：11说明：1、一致收敛是对区域B或L而言。或者说是对复变函数项级数而言的。2、复变函数项级数在B或L上一致收敛在B或L上的各点z，此复

5、变函数项级数都收敛3、在区域B或L上一致收敛，如果是B或L上的连续函数，则也是B或L上的连续函数4、逐项可积性。若在L上一致收敛，则有：125、逐项可导性。若在B上一致收敛，且每一项在B上解析，则有：6、M判别法。若在区域B内，且收敛，则在B内一致且绝对收敛7、如果复数项级数的和是B的解析函数，则这个级数一定是B上的收敛级数13三、级数绝对收敛性的常用判别法：⒈达朗贝尔（Alembent）判别法对于级数如果（至少当n充分大时），有＜1，模一项比一项小.绝对收敛，则级数即判断反之，若，模级数发散，复级数发散

6、，若，模级数不定，复级数不定14三、级数绝对收敛性的常用判别法：⒈达朗贝尔（Alembent）判别法⒉(Cauchy)判别法：如果（至少当n充分大时），有＜1，则级数是绝对收敛的，反之，敛散性不定。15⒊高斯（Gauss）判别法=1++0（)如果（至少当n充分大时）是常数，则当时，级数绝对收敛；当时级数发散。16§3、2幂级数一、幂级数表示二、幂级数的收敛半径及其求法三、幂级数性质17……均是复数，二、幂级数的收敛半径及其求法：1、收敛半径R：绝对收敛。1）d’Alembert法则求级数收敛半径：一、幂级

7、数表示收敛半径为18＜1对收敛。若＞1发散。R=收敛半径为对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。（证略）2）Cauchy法求收敛半径收敛圆在收敛圆外部，发散在收敛圆上，敛散性不定，需讨论在收敛圆内部，收敛19例⒈求级数的收敛圆，t为复变数=1R=1解：故级数在＜1的圆内收敛级数的和为（几何级数）20令解=1收敛半径为级数为级数的和为例⒉求级数的收敛半径。z为复变数21例3求下列级数的收敛半径；（并讨论在收敛圆周上的情况）1）（并讨论Z=0，Z=2时的情况）2）===1R=解：=①在圆周=1上，其模级

8、数为：22，这是一个收敛级数（P级数）P为实数项级数②收敛圆在收敛圆周上，其模级数为：是发散级数所以不能确定此时复数级数的敛散性，需讨论23在收敛圆周上当z=0时，级数为：-----交错级数，由莱布尼次准则知级数收敛交错级数的审敛准则(莱布尼兹准则)：如果且，那末级数收敛.②24调和级数发散的速度慢的让人有些不可思议，调和级数的前1000项的和约为7.485，前100万项的和约为14.357，前10亿项的和约为21，前一万亿项