高中数学自修讲义(竞赛必备基础知识)

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1、[键入文字][键入文字][键入文字]高中数学自修讲义1-集合9[键入文字][键入文字][键入文字]【考点精讲】考点1：集合的概念与集合的表示9[键入文字][键入文字][键入文字]集合概念把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。元素的性质（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性表示方法列举法①元素不重复②元素无顺序③元素间用“，”隔开描述法①写清楚集合中元素的代号，如{x∈R

2、x>0}，不能写成{x>2}；②说明该集合中元素的性质；③所有描述的内容都写在大括号内。元素与集合的关系一般地，用大写

3、拉丁字母如A、B、C表示集合，用小写拉丁字母a、b、c表示集合中的元素，如果a是集合A中的元素就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aÏA。常用数集及其记法N为零和正整数组成的集合，即自然数集，N*或N+为正整数组成的集合；Z为整数组成的集合；Q为有理数组成的集合，R为实数组成的集合。【典例精析】例题1判断下列命题是否正确，并说明理由。（1）{R}=R；ìy=2xî（2）方程组íy=x+1的解集为{x=1，y=2}；（3）{x

4、y=x2－1}={y

5、y=x2－1}=

6、{（x，y）

7、y=x2－1}；（4）平面内线段MN的垂直平分线可表示为{P

8、PM=PN}。思路导航：以上几种命题都是同学们在初学过程中极易出错的几种典型类型。处理此类问题的关键在于要正确而深刻地理解集合的表示方法。答案：（1）{R}=R是不正确的，R通常为R={x

9、x为实数}，即R本身可表示为全体实数9[键入文字][键入文字][键入文字]的集合，而{R}则表示含有一个字母R的集合，它不能为实数的集合。ìy=2x9[键入文字][键入文字][键入文字]î（2）方程组íy=x+的解集为{x=1，y=2}是

10、不对的，因为解集的元素是有序实数对19[键入文字][键入文字][键入文字]ìx=1î（x，y），正确答案应为{（x，y）

11、íy=2}={（1，2）}。（3）{x

12、y=x2－1}={y

13、y=x2－1}={（x，y）

14、y=x2－1}是不正确的。{x

15、y=x2－1}表示的是函数自变量的集合，它可以为{x

16、y=x2－1}={x

17、x∈R}=R。{y

18、y=x2－1}表示的是函数因变量的集合，它可以为{y

19、y=x2－1}={y

20、y≥－1}。{（x，y）

21、y=x2－1}表示点的集合，这些点在二次函数y=x2－1的图象

22、上。（4）平面上线段MN的垂直平分线可表示为{P

23、PM=PN}，该命题是正确的。点评：正确理解集合的表示方法对以后的学习有极大帮助。特殊数集用特定字母表示有ìx=?î特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为{（x，y）

24、íy=?}的形式；对描述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么。例题2已知a∈{1，－1，a2}，则a的值为。思路导航：处理该类问题的关键是对a进行分类讨论，利用元素的互异性解题。答案：∵a∈{1，－1，a2}，∴a可以等于1，－1，a2。（1）当a=1时

25、，集合则为{1，－1，1}，不符合集合元素的互异性。故a≠1。（2）同上，a=－1时也不成立。（3）a=a2时，得a=0或1，a=1不满足，舍去，a=0时集合为{1，－1，0}。综上，a=0。点评：集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关。因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性。随堂练习：下列各组对象中不能构成集合的是……（）A.高一（1）班全体女生B.高一（1）班全体学生的家长C.高一（1）班开设的所有课程D.

26、高一（1）班身高较高的男同学思路导航：根据集合的概念进行判断。因为A、B、C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而D中所给对象不确定，原因是找不到衡量学生身高较高的标准，故不能构成集合。若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175cm以上的男同学”，则能构成集合。答案：D点评：本题要求判断所给对象能否构成集合，只需根据构成集合的条件，即集合中元素9[键入文字][键入文字][键入文字]的确定性便可以解决。【总结提升】判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征：（1）确定性，（2）互异性，（3）无序性

27、，特别是确定性比较难理解，是指元素和集合的关系是非常明确的，要么该元素属于集合，要么该元素不属于集合，而不是模棱两可。例题判断以下对象能否组成集合。（1）高一（1）班的身高大于1.75m的学生；（2）高一（1）班的高个子学生。思路导航：该例贴近于现实生活，能较好地帮助同学们正确理解集合中元素的确定性。答案：（1）高一（1）班中身高大于1.75m的学生是确定的，因此身高大于1.75m的学生可以组成集合。（2）高一（1）班中的高个子学生没有具体身高标准，因此