学而思小升初培优六：数论综合学 生版

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1、小升初培优（六）：数论综合专题回顾练习：1加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成个零件,第二道工序每名工人每小时可完成个零件,第三道工序每名工人每小时可完成个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?2甲、乙两数的最小公倍数是，乙、丙两数的最小公倍数是，甲、丙两数的最小公倍数是，那么甲数是多少?例题解析枚举法枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。

2、正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。【例1】求这样的三位数，它除以所得的余数等于它的三个数字的平方和。【分析】三位数只有个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为，，。由于任何数除以11所得余数都不大于，所以。从而，，。所求三位数必在以下数中：不难验证只有，两个数符合要求。【例1】写出个都是合数的连续自然数。【分析】（法一）在寻找质数的过程

3、中，我们可以看出以内最多可以写出个连续的合数：，，，，，，。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。用筛选法可以求得在与之间共有个都是合数的连续自然数：，，，，，，，，，，，，。（法二）如果设这个数分别是，，，，，如果能被到中任意一个数整除，那么，，，，，能分别被、、,,整除，所以，只要取即可得到符合条件的个数。（法三）上面的方法虽然巧妙，但是计算非常困难，所以应该选取折中的方法，设这个数分别是，，，，，。所以只要使能被到的所有整数整除，并且保证和都是合数即可，通过试验可得到即是符合条

4、件的值。【例2】如图，有三张卡片，在它们上面分别写着，，。从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的素数都写出来。（素数即质数）【分析】因为这三个数字的和为，能被整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被整除，所以不可能是素数。再看两张卡片的情形。因为，根据同样的道理，用，组成的两位数也能被整除，因此也不是素数。这样剩下要讨论的两位数只有，，，这四个了。其中，，都是素数。最后一位数素数只有，。【拓展练习】、和都是两位数，、的个位分别是和，的十位是,

5、如果它们满足等式，则。代数表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：1.十进制表示形式：；2.二进制表示形式：；3.带余形式：；（奇数可以表示为，偶数表示为，其中为整数）4.标准分解式：；5.的乘方与奇数之积式：；（其中为奇数）。6.最大公约数与系数之积式：，，其中，。7.【例3】求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．【分析】设所求的四位数为，则，其中，。可见平方数被整除，从而被整除．因此

6、，数能被整除，于是能被整除．但，以．于是，由此可知是某个自然数的平方．对，，，逐一检验，易知仅时，为平方数，故所求的四位数是。【拓展练习】一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小，则满足条件的两位数共有______个。【例1】求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方（假定划掉的两个数字中的一个非零）。【分析】设满足条件，令，其中。于是，即。因此，由此得，所以。经验算，仅当时，满足条件。若则。因此，满足条件的最大的完全平方数为。【例2】从自然数，，，，中

7、，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？【分析】设，，，是所取出的数中的任意个数，则，，其中，是自然数。于是。上式说明所取出的数中任意个数之差是的倍数，即所取出的每个数除以所得的余数均相同。设这个余数为，则，，，其中，，是整数。于是。因为，所以，即，推知，，。因为，所以，从，，…，中可取，，，，共个数，它们中的任意个数之和能被整除。【例3】如果被除余数为2，被除所得的余数为，求证：能被整除。（、都是自然数）【分析】（法一）设，，解方程组得到，所以能被整除。（法二）由题目条件能

8、被整除，即能被整除，继而得到能被整除，所以能被整除。【拓展练习1】如果是的倍数,证明：也是的倍数。（、都是自然数）【拓展练习2】如果是的倍数，求证也是的倍数。（、都是自然数）【拓展练习3】如果是的倍数，也是的倍数，求证是的倍数。（、、都是自然数）【例1】有一个自然数，它除以、、所得到的商()与余数()之和都相等，这样的数最小可能是多少。【分析】至少为，至少为，至少为，最小为1081。如何计算一个自然数的约数个数：a将该自然数用标准分解式表达：；b将该自然数的约数用标准