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1、泰勒公式及其应用扌商要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方而的不可或缺的工具，集屮体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具，它的用途很广泛.木文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域几个应用作论述。文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、行列式的计算、求高阶导数在某点的数值、根的唯一存在性的证明、判断函数的极值外，特别的，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断的应用做详细的介绍。关键词：泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗F1余项Taylor
2、^sFormulaanditsApplicationZhangshu-xiaAbstract：Taylor^formulaisthemathematicalanalysisoftheimportantpart,ithasbecomearesearchfunctiontheorymethodandestimatederrorlimitoftheindispensabletoolssuchasaconcentratedexpressionofthecalculus,"approximation"5oftheessence,whichisthev
3、alueoftheCalculustheoremisalsoofhighorderderivativefunctionofanimportanttoolforstate,itsuseisverywide.ThispaperintroducestheTaylorformulaanditsapplicationsinmathematicsfordiscussiononseveralapplications.ArticleinadditiontothecommonTaylorformulaforapproximatecalculation,lim
4、it,inequality,thedeterminantcalculation,highderivativesatcomepointtheonlynumerical,roottheexistenceofproof,judgingfunctionoutsidetheextremum,special,Taylorformulaalsoforfunctionconvexityandapplicationofinflexionpointjudgedetail・Keyword:Taylorformula,Peanoremainder,Lagrange
5、remainder一引言1・1综述近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作•泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物Z—的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的•泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数/,设它在点兀。存在直到川阶的导数，由这些导数构成一个"次多项式丁/、_£/―广(观)/、./"(心)/、2..、”亶(只)二/(兀0)+---(兀一兀0)+_—_(兀一兀0)■*h:(兀一勺)，1!2!nl称为
6、函数/在点兀。处的泰勒多项式，若函数于在点兀。存在直至〃阶导数，则有f(x)=Tn(x)^o((x-xQ)n),即/(x)=/(x0)+/,(x0)(x-x0)+-^^(x-x0)2+•••+-~(x-xo)+6>((x-xoy).2!nl称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微枳分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用.泰勒公式在分析和研究
7、数学问题屮有着重要作用，它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、近似计算、不等式证明等方面.1・2研究现状关于泰勒公式的应用，己有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题口作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等•虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也述有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.1・3研究意义泰勒公式不仅在极限和不等式证明屮能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒
8、公式表示•因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.1・4本论文所作的工作泰勒公式的应用一直以来都属于数学领域里
