2020版高考数学一轮复习第7章立体几何初步第4节垂直关系教学案文含解析北师大版

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1、第四节　垂直关系[考纲传真]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行⇒a∥b2.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面

2、所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⇒l

3、⊥α1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α．(　　)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　)(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(　　)(4

4、)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B　[根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．故选B．]3．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ．(　　)A．若l⊥β，则α⊥β　

5、　B．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA　[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．4　[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC．因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．a　[

6、如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝a，∴A′C＝＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.]直线与平面垂直的判定与性质►考法1　直线与平面垂直的判定【例1】　(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．[解]　(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且

7、OP＝2.连接OB．因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC，OB平面ABC，AC平面ABC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC．(2)作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，OP平面POM，OM平面POM，OP∩OM＝O，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°.所以OM＝，CH＝＝.所以点C到平面POM的距离为.►考法2　直线与平

8、面垂直的性质【例2】　(2017·江苏高考)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC．[证明]　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB．又因为EF平