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《Farneback光流场算法数学推导》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.2.1Farneback算法原理剖析该算法的总体思想就是首先通过多项式展开变换逼近两帧图像中的每个像素，然后通过观察一个多项式如何在平移下进行精确变换，最终从多项式展开系数中推导得到位移场。1.多项式展开多项式展开的思想⑸是将每个像素点的邻域近似表示为多项式，我们可以构造????-??T???+???????+??(4-1)99.99,其中X是该像素点的位置坐标??,??,??是一个对称矩阵？?：？?：，？是一个二维向量？？•一'1,??2，C是一个标量，系数要根据加权最小二乘法对相邻信号值进行估计。将
2、？???展开????~c+bl??+??2+??1??2+??2??2+2??2????(4-2)这里实际上将二维信号空间转换成了以1,??,?,???2,??2)???作为基函数的六维信号空间，我们表示图像就需要一个六维向量。在编程中，为了简化计算，我们舍弃了其中的常数项，六维空间便转化为五维空间。2.位移估计由于多项式展开的结果是每个邻域近似表示为多项式，因此我们首先分析多项式经过理想平移的情况。初始图像信号9P??=?9T??179+?5b9?+(4-3)■
3、■■■■■■■]■■■pi•■■■I■I■
4、ViXf经过全局位移d,构建得到新的信号f2弦？？二?!???-??(4-4)??(??-??)+??=??-??T??1(??-??)+??!1=??T??[??+??・2??1??????+??????1??-??????+?i?(4-5)(4-6)(4-7)(4-8)(4-9)(4-10)将多项式中的系数等效??2=??1??2=??-2??1??C2=??????1??-??f???+???颈？)？二????2??+??§???+?£通过方程(4-6),我们可以求解得到d1??)2??12??1??
5、=-(??2・??)3•结合实际考虑显然，关于整个信号是单个多项式的假设以及与这两个图像信号相关的全局平移在实际情况中是不存在的，但是表示基本关系的公式(4-10)仍适用于实际信号。我们可以用方秩3)中的局部多项式近似代替全局多项式。首先对两幅图像进行多项式展开，给岀第一幅图像的扩展系数Ai(x),bi(x)和？?(x)、第二幅图像的扩展系数A2(x),b2(x)和C2(x)。理想情况下，根据公式(4-5),这应线出Al=A2,但实际上我们必须求解近似值1????=-[??1??+??2(??)]211)1
6、?????=-一??9??-??.(7^9■■■■・c■■厶■■■■I■/■N12)我们用空间变化的位移场dx来替代之前的全局变蚩得到??(习=?????(4-(4-(4-13)理论上(4/3)可以逐点求解，但是这样既不利于提高算法的稳定性也会对策成本4•对邻域的饰造成浪费，我们根据实际情况假设位移场只是缓慢变化的，这样我们就可以在每个像素的邻域上集成信息，因此我们需要尽可能匏x的邻域I中找到dx以及最小化?????????+???????.?????+???2(4-14)???fe我们定谭??)是根据二
7、维高斯分布确定的邻域中每个点的权函数，根据最小二乘法的原理可得-19???99??=■■■■■■■■7?999■•■■■????■■■■(4-15)实际上，这意味着我们首先要算AT??和AT?b，权平均运算，最终根据公式(4-15)求解位移，此解决方案存在并且是唯一的。5.参数化位移场如果位移场可以根据某种运动模型进行参数化，那么我们可以提高算法的IB对于参数线性的运动模型来说，这很简单，比如一个具有六个参数的运动模型??????,??=ai+a2X+a3y+a4X2+a6??????????,??=ai+
8、a2X+a3y+asy2+a6????然后将它们通过权画数3进行加(4-16)??，则有,p■■I,■■Zjj■■o1??9?0992????dX，dy??=????■■■■■■(4-17)将其代入公式(4-14),我们就可以得到一个加权最小二邇??77?????卷？?????2(4-18)??我们用?来索引某像素点邻域中的坐标。这样我们就可以用最小二乘法计算得到-1????????Q7??9^>■■•・■■■・??=????????????■•??•■??■•(4-19)7?■•??••像之前一样，我们可
9、以计算STAT??S和STAT?b,然后用3来对它们进行加权平均计算，最终计算得到位移。6.结合先验位移信息到此为止，该算法仍然存在的问题主要是我们假设除了位移之外，两个图像信号中相同坐标处的局部多项式是相同的。由于多项式展开是局部模型，它们将在空间上变化，从而会像公式(4-13)一样引入误差。对于小的位移来说，这是可以接受的，但是位移越大，问题就会越严重。所以我们并不局限于在同一个坐标系下比较两个多项式。如果我
