高等数学经管类下高等职业教育“十一五”规划教材通识教育规划教材编写组第5章

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1、第5章不定积分【学习目标】•理解原函数和不定积分的定义，掌握不定积分的性质。•熟练掌握基本积分公式，并会结合积分的性质计算不定积分。•能熟练运用换元积分法和分部积分法计算不定积分。5.]不定积分的概念与性质5.2换元积分法与分咅E积分法5.1不定积分的概念与性质►5.1.1原函数►5・1・2不定积分的概念►5.1.3不定积分的性质►5.1.4基本积分表5.1.1原函数定义1如杲在区间Z上，函数月⑴的导数为即对于任一XEZ都有严⑴⑴或dF(x)=/«dx则称月(A)为/S)在区间』上的一个原函数。原函数存在定理若了0)在区间Z上连续，贝II存在Fg对于任一兀“都有^rW=/W即连续函数必

2、有原函数。这是原函数存在的一个充分条件，我们将在下一章给岀证明。5.1.2不定积分的概念定义2若月⑴为了㈤的一个原函数，则称了㈤的所有原函数月(x)+U(CeR)为/(x)的不定积分，记作■其中“i"为积分符号，"为积分变量，了(兀)为被积函数，为被积表达■f式,C为积分常数。5.1.3不定积分的性质(1)不定积分与导数和微分互逆性•[

3、/W<^]r=/Wd

4、/(x)dx=/(x)dxvar•iF((x)dx=F(x)+C或i妒㈤=H(x)+S(2)不定积分的线性性质由导数的线性性质可得到其中上为常数。即常数积分因子可提到积分号前边。•J[/W±gW]<^=[/W^土Jg(Q血其中畑曲

5、皆可积。即和的积分等于积分的和。5.1.4基本积分表根据不定积分和导数的关系，由基本求导公式可得到常用的基本积分公式。(1)[=kx+C〔2)k他=丄严+匚wJK+l〔3)[—dx=Inx+C-X〔4)=——+C•Ina亥人民邮电出版社POSES&TELECOMPRESSsmxdx=-cosx+C(7)

6、cosxdx=smx+Cf*-〔2)jsec2xdx=tanx+Udx〔9)

7、esc2xdx=-cotx+(7=arcsmx+C*=-arccosx+C^arctanx+C〔12)Isecxtanxdx=secx+C■(13)Iescxcotxdx=一escx+(75.2换元积分法与分

8、部积分法通过上节的学习，我们可以求一些简单的积分,为了解决复合函数、函数的乘积等这些复杂一些的积分问题，本节我们将学习换兀积分法和分部积分5.2.]第一换兀积分法5.2.2第二换元积分法5.2.3分部积分法5.2.1第一换兀积分法定理1设尸似)是力>)的一个原函数，疑X)为一可导函数，则

9、/@(x))0(x)dx=

10、/(

11、/(殳)血JWtf二险)+—/(◎>))+c此类换元积分法叫第一换元积分法，也叫凑微分法。主要应用于被积表达式为复合函数乘上被复合函数的微分，或者其余部分可以凑岀被复合函数的微分的积分的计算。换元实际上是看成一个整体的思想，因此该定理可表述为

12、一句话：想把谁看成一个整体就要凑岀谁的微分。5.2.2第二换元积分法定理2设了㈤连续，其=典）单调、可导，且处）丸，其反函数为2旷匕）,若_/（为））00）具有原函数F®,贝I」l/Wdx="（强加徳）=〃（强））0（£）逐（*）■■W=H（f）+C=月（炉1（»）+0定理3（分部积分法）也存在，并有<]令5.2.3分部积分法若如X与洌xi可导，不定积分2血存在，则积分h血■M