材料力学课程论文

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1、关于剪切模量G、弹性模量E和泊松比v的关系证明及其应用姓名：学号：班级：摘要：众所周知，材料力学在工科专业中发挥着不可忽视的垂要基础作用，前人们也对此进行了深入的研究和探索，为我们现在的快速计算打下了良好的基础，胡克定律的发明极大方便了弹力的计算，而剪切模量、弹性模量和泊松比的发现也方便了我们对应力的计算，三者关系的得出更是提升了我们的计算效率。本文首先对剪切模量、弹性模量和泊松比的匣要意义进行了说明，然斤证明了三者Z间的关系，最后简要谈一些相关应用。关键词：剪切模量、弹性模量、泊松比、应用引言：笔者在学习《材

2、料力学》到第四章扭转时，学到了弹性胡克定律：a=Ee,式中o为正应力，E为弹性模fi(Young'sModulus),e为线应变；泊松比:v=—,式£2屮V为泊松比(Poissorfsratio),叼为横向线应变，巨为轴向线应变；剪切胡克定律：t二Gy，式中t为切应力，Y为切应变，G为切变模量(shearmodulus)o笔者又看到，对各向同性材料，材料的三个弹性常数：弹性模量E、泊松比v和切变模量G之间存在下列关系―占。但是教材中并没有给出证明，当时才疏学浅，无法证明，但是笔者当学习到第八章时，有了一些个人见

3、解。创根问底是笔考的一贯风格，为此，笔者对本公式进行了探讨证明。剪切模量是材料常数，是剪切应力与应变的比值。又称切变模量或刚性模量。材料的力学性能指标Z—。是材料在剪切应力作用下，在弹性变形比例极限范围内，切应力与切应变的比值。它表征材料抵抗切应变的能力。模量大，则表示材料的刚性强。剪切模量的倒数称为剪切柔量，是单位剪切力作用下发生切应变的量度，可表示材料剪切变形的难易程度。[1]材料在弹性变形阶段，其应力和应变成止比例关系(即符合胡克定律)，其比例系数称为弹性模量。弹性模量的单位是达因每平方厘米。[2]泊松比

4、是材料横向应变与纵向应变的比值的绝对值(即比值的负数)，也叫横向变形系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。[3]位为1,公式符合量纲要求。图1平面纯剪切应力状态单元体首先，从量纲上进行分析，剪切模量和弹性模量的单位均为帕，泊松比的单下面从公式关系上进行分析，为方便研究，笔者选择纯剪切平面应力状态单元体，如图1所示。在纯剪切应力状态下,由于5=Txy,O3-~Txy，根据主应力的广义胡克定律，得主应变1(1+U)5=云(5—U”3)=Txy(1)单元体内任意斜面上的线应变公式务=

5、(^x+勺)+1—cos2a+孰

6、ycos2a公式(2)推导如下:X,yzdydx勺dyX如图2,取一微元体，设其边长分别为dx,dy,角度为ci,则可得下式:由图3可知：△厶1=exdxcosa(3)曲图4可知：△厶2=勺dysina(4)由图5可知：△厶3=Yxydxsina(5)由叠加定理和(3)(4)(5)可得，AL=厶2+△S，△厶£xdxcosa+Eydysina+yxydxsina%=矿AS_rdxdy•十，因为—=cosa,—=sinao所以asassa=Excosacosa+eysinasina+yxycosasina111=

7、2+勺)+2—勺)cos2a+-yxycos2a令ci二45°ex=ey=0,则单元体中45°方向的应变为^45-=号(6)Txy=Gyxy(7)因为45°方向是最大主应变方向，所以二者相等，即……(8)由(1)、(6)、(7)和(8)可知，器=。響,化简可得2GEEG=2(1+v)剪切模量G,表征材料抵抗切应变的能力，模量大，则材料的刚性强。在实际工程应用当中，我们都希望材料的刚性强，即能够抵抗较人的切应变，弹性强，即能够抵抗较大的正应变。经过对相关资料的查询，笔者得到了常用材料的剪切模量、弹性模量和泊松比。

8、序号材料名称弹性模量E/GPa切变模量G/GPa泊松比PL1课锯钢、合金钢20679.380.32碳钢196〜206790.33铸钢172〜2020.34球墨铸铁140〜15473〜760.35荻铸铁、白口铸铁113—157440.23—0.276冷拔纯铜127487轧制隣青洞113410.32〜0・358；轧制纯铜108390.31〜0・349轧制猛青洞108390.3510铸铝青洞103410.311冷拔黄铜89〜9734〜360.32~0.4212轧制锌82310.2713硬铝合金70260.314轧制铝

9、680.32〜CL3615铅1770.4216玻璃55220.2517混凝土14〜394.9—15.70.1〜0.1818纵纹木材9.8〜120.519横纹木材0.5—0.980.44〜0.6420椽胶0.007840.4721电木1.96〜2・940.69〜2・060.35〜0.3822赛璐珞1.71—1.890.69〜0.980.423可锻铸铁15224拔制铝线6925大理石552