《徐翠微计算方法引论》

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1、2009~2010学年第一学期计算方法教案计0701-07034h第二章插值法知识点：拉格朗日插值法，牛顿插值法，余项，分段插值。实际问题中，时常不能给出f（x）的解析表达式或f（x）解析表达式过于复杂而难于计算，能采集的只是一些f（x）的离散点值{xi,f(xi)}(i=0,1,2,…n)。因之，考虑近似方法成为自然之选。定义：设f（x）为定义在区间[a，b]上的函数，x0,x1,…,xn为[a，b]上的互异点，yi=f（xi）。若存在一个简单函数j（x），满足（插值条件）j（xi）=f（xi），i=0，1

2、，…，n。则称j（x）为f（x）插值函数，f（x）为被插函数,点x0,x1,…,xn为插值节点,点{xi,f(xi)},i=0,1,2,…n为插值点。于是计算f（x）的问题就转换为计算j（x）。构造插值函数需要解决：插值函数是否存在唯一；插值函数如何构造(L插值)；插值函数与被插函数的误差估计和收敛性。对插值函数j（x）类型有多种不同的选择，代数多项式常被选作插值函数。P23(2.18)和(2.19)指出，存在唯一的满足插值条件的n次插值多项式pn(x)。但是需要计算范德蒙行列式，构造插值多项式工作量过大，简

3、单表达式不易得到，实际中不采用这类方法。pn(x)≈f(x)插值法是一种古老的数学方法，拉格朗日（Lagrange）、牛顿（Newton）等分别给出了不同的解决方法。拉格朗日插值拉格朗日（Lagrange）插值的基本思想：把插值多项式pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)的构造。(1)线性插值①构造插值函数已知函数y=f(x)的两个插值点(x0,y0)，(x1,y1)，构造多项式y=p1(x)，使p1(x0)=y0,p1(x1)=y1。30《计算方法引论》、徐翠薇，高等教

4、育出版社2008年4月第三版第二章Lagrange插值法2009~2010学年第一学期计算方法教案计0701-07034h由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为())(1001010xpxxxxyyyy=---=+x-x1p1(x)=x0-x1+x-x0x1-x0y0y1变形为x-x1l0(x)=x0-x1x-x0l1(x)=x1-x0记则p1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1插值完毕！注意性质：l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，p1(x0)=y0，p1(x1)=y1。称l

5、0(x)，l1(x)为点x0、x1的线性插值基函数。插值函数p1(x)是这两个插值基函数的线性组合，这种形式的插值称作为拉格朗日（Lagrange）插值，相应多项式称拉格朗日线性插值多项式，记作L1（x）。②误差设L1（x）为插值点(x0,y0)，(x1,y1)的插值函数,f(x0)=y0,f(x0)=y1,f(x)一阶连续可导,二导数存在.则对任意给定的x∈[a,b],存在一点ξ∈[a,b],使R1(x)=(x-x0)(x-x1)f(ξ)（2）2！,ξ∈[a,b]f(x)-L1(x)=引进辅助函数,利用洛尔

6、定理即证，见P17定理2.1。(2)二次插值①构造插值函数给定三个点{xi,f(xi)},i=0,1,2,其中xi互不相同，构造函数f（x）的二次插值多项式L2（x），满足：L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。仿线性插值，用插值基函数构造插值多项式。令L2（x）=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2待定函数li(x)应是二次函数，满足约束条件li(xi)=1，li(xj)=0（i≠j），i，j=0，1，2。此设l0(x)=A(x-x1

7、)(x-x2)，l1(x)=B(x-x0)(x-x2)，l2(x)=C(x-x0)(x-x1)。根据约束条件确定系数1A=(x0-x1)(x0-x2)1C=(x2-x0)(x2-x1)1B=(x1-x0)(x1-x2)由此得L2(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2)f(x0)(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x0-x2)f(x1)(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)f(x2)++②误差R2(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)f(ξ)（3）3！,ξ∈[Min{

8、x0,x1,x2,x},Min{x0,x1,x2,x}]30《计算方法引论》、徐翠薇，高等教育出版社2008年4月第三版第二章Lagrange插值法2009~2010学年第一学期计算方法教案计0701-07034h证明见P22定理2.2。例设sin11°=0.190809,sin12°=0.207912。用线性插值计算sin11°30ˊ.x-12L1(x)=11-12x-110.190809+12-