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1、浅谈数学与音乐之关系众所周知，音乐是心灵和情感在声音方面的外化，数学是客观事物高度抽象和逻辑思维的产物。那么，看似风马牛不相及的“多情”的音乐，与“冷酷”的数学也有关系吗?答案是肯定的。其至可以说音乐与数学是相互渗透，互相促进的。其实，人们对数学与音乐Z间联系的研究和认识可以说源远流长.这最早可以追溯到公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来.他们不仅认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系，从而发现了和声与整数之间的关系,而且还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的
2、弦发出的.于是,毕达哥拉斯音阶和调音理论诞生了，而且在西方音乐界占据了统治地位.虽然托勒密对毕达哥拉斯音阶的缺点进行了改造，得出了较为理想的纯律音阶及相应的调音理论，但是毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位直到十二平均律音阶及相应的调音理论出现才被彻底动摇。在我国，最早产生的完备的律学理论是三分损益律，时间大约在春秋中期《管子•地员篇》和《吕氏春秋•音律篇》屮分别有述;明代朱载在其音乐著作《律学新说》对十二平均律的计算方法作了概述，在《律吕精义•内篇》屮对十二平均律理论作了论述，并把十二平均律计
3、算的十分精确，与当今的十二平均律完全相同，这在世界上属于首次.孔子说的六艺“礼、乐、対、御、书、数”，其中“乐”指音乐，“数”指数学，即孔子就己经把音乐与数学并列在一起。由此可见,在古代音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起.从那时起到现在，随着数学和音乐的不断发展，人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深•感觉的音乐中处处闪现着理性的数学的影子。乐谱的书写是数学在音乐上显示其影响的最为明显的地方。在乐谱中，我们可以找到拍号、每个小节的拍子、全音符、二分音符、四分音符、八分音符等等。谱写乐曲要使
4、它适合于每音节的拍子数，这相似于找公分母的过程一一在一个固定的拍子里，不同长度的音符必须使它凑成一个特定的节拍。然而作曲家在创造乐曲时却能极其美妙而乂毫不费力地把它们与乐谱的严格构造有机的融合在一起。対一部完整的作品进行分析，我们会看到每一个音节都有规定的拍数，而且运用了各种合适长度的音符。除了上述数学与乐谱的明显联系外，音乐还与比例、指数曲线、周期函数以及计算机科学等相关联。如上文提到的毕达哥拉斯学派提出的“协和音是由长度与原弦长的比为整数比的绷紧的弦给出”，事实上被拨动弦的每一种和谐的结合，都
5、能表示为整数比。由增大成整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。例如，从一根产生音C的弦开始，接着C的16/15给出B,C的长度的6/5给出A,C的4/3给出G,C的3/2给出F,C的8/5给出E,C的16/9给岀D,C的1/2给出低音C。又如，很多乐器的形状和结构都跟不同的数学概念联系着。指数函数就是其一。例如＞=2^乐器〃，无论是弦乐还是管乐，在他们的结构屮都反映出指数曲线的形状。我们再來举几个显见的例子。一个是钢琴的键盘，恰好与斐波那契数列有关：我们知道在钢琴的键盘上,从一个C键到下一个C键就
6、是音乐中的一个八度音程，其中共包括13个键，有8个白键和5个黑键’而5个黑键分成2组，一组有2个黑键，一组有3个黑键。2、3、5、8、13恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数。再一个是音乐中的黄金分割问题：贝多芬、莫扎特、巴赫、舒伯特等著名咅乐家的作品中都流淌着黄金分割完美和谐的旋律一一他们音乐的音节、乐曲中的大小高潮大多都在乐曲的5:8的交叉点上；世界著名波兰作曲家和钢琴家肖邦很注意乐谱的数学规则、形式和结构，有位研究肖邦的专家称肖邦的乐谱“具有乐谱语言的数学特征”。我国的七弦琴（即古琴）取弦
7、长I,7/8,5/6,4/5,3/4,2/3,3/5,1/2,2/5,1/3,1/4.1/5,1/6,1/8得所渭的13个徽位，含纯率的1度至22度，非常自然，足很理想的弦乐器。我国著名古琴家查阜西早就指出，要学好古琴，必须对数学有一定素养。对乐声本质的研究，在19世纪法国数学家傅立叶的著作中达到了顶峰。他证明了所有的乐声一一不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们是一些简单的正弦周期函数的和。每种声音都有三种品质：音调、音量和音色，并以此与英他的乐声相区别。傅立叶的发现，使人们可以将声音的
8、三种品质通过图解加以描述并区分。音调与曲线的频率有关，音量与曲线的振幅有关，音色则与周期函数的形状有关。有人说：“十个阿拉伯数字中，少了两个数字就是音乐，音乐的八个音符（包括•休止符0）中多了两个就是数学。”这虽是调侃之词，但的确也概括了它们“形”Z间的关系。数学与音乐不仅仅是“形似”,而且还“神似”。我们知道，音乐是人类心灵深处灵魂的表白利倾诉，没有半点矫揉造作，没有虚伪和掩饰；而数学则以它的逻辑严谨和确切无误的推理在深刻而又踏实地反映大自然的规律和法则。音乐中那和谐优美的旋律，
