资源描述：
《离散数学-泰山学院教务处》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三章集合论集合论是现代数学的基础，是数学不可或缺的基木描述工具。可以这样讲，现代数学与离散数学的“大愎”是建立在集合论的基础z上的。集合论的研究起源于对数学的棊础研究：对数学的对彖、性质及其发生、发展的一般规律进行的科学研究。徳国数学家康托尔从1874年始，发表了一系列集合论方面的著作，从而创立了集合论。在自然科学中，除了研究处于孤立的个体之外，更重要的是将一些相关的个体放在一起进行研究，这就直观地产生了引入集合这一概念的要求。随着计算机时代的到来，集合的元索己由传统的“数集”和“点集”拓展成包含文字、符号、图形、图表和声音等多媒体信息，
2、构成了各种数据类型的集合。从而集合论在编译原理、开关理论、信息检索、形式语言等各个领域得到了广泛的应用。3.1集合一•个集合是作为整体识别的、确定的、互相区别的一些事物的全体。严格地讲，这只是一种描述，不能算是集合的定义。类似于几何中的点、线、面等概念，在朴素集合论中，集合也是一种不加定义而直接引入的最基木的原始概念(一给出定义就要引入悖论)。而集合论屮的其他概念，则都是从它出发给予了严格的定义。构成集合的每个事物称为这个集合的元素或成员。集合一般用大写字母表示，元素用小写字母表示。但这也不是绝对的，因为一个集合可以是另外一个集合的元素。[
3、例3.1.1]英文字母的集合，C语言的基本字符集，全体实数，计算机內存单元集合。[例3.1.2]{1,2,3}={2,1,3}={3,1,2}。[例3・1.3]常用集合：N,I(I+,T-),P,Q(Q+,Q-),R(R+,R-),Co集合的表示：(D枚举法；(2)性质描述法:S=(x
4、P(x)｝；(3)文氏图法：用于描述集合间的关系及其运算，其特点是直观、形象、信息最人且富有启发性。--般用矩形衣示全集U,用圆表示U的子集A,B,C等等。集合中的事物称为集合的元素，通常用小写英文字母表示。如果x是集合S的一个元素，则称X属于S,记作XGS
5、；否则称X不属于S,记作x@A。集合有三个垂要的特性：互异性、无序性和确定性。［例3.1.4］IgN,0.5eQ,3.OgR,一lgN,血gQ。定义3.1.1设A是任意集合，A中元素的个数称为A的基数或势，用
6、A
7、表示。(1)基数为冇限的集合称为冇限集，否则称为无限集；⑵若IA丨=0,则称A为空集，记作①或{}。否则称A是非空集合。［例3.1.5］N,1,Q+,R,C都是无限集；人于3且小于1的整数集是空集，H=(x
8、xgR且xJx+1二0}是空集；偶质数集是有限非空集。丨①
9、=0,{0,1}
10、=2,
11、{①}
12、=1,
13、N
14、=N(),
15、R
16、=
17、N］。定义3.1.2设A和B是两个集合。若A中的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集或称B包含A、A包含于B,记作Ay13。若AcB但AHB,则称A为B的真子集，记作AczB,B称为A的扩集或超集。空集是任何集合的子集(对任一集合A,有0)cA)o对任一非空集合A,它至少有两个不同的子集①和A,称它们为A的平凡子集。［例3.1.6］NuQuRuC。集合的包含关系有如下性质:(1)自反性:AcA；(2)反对称性：AcB,BcA=>A=B；(3)传递性：AuB,BcC=>AyC。而集合的真包含关系则只冇传递性：AcB,BcC=>AcCo定义3
18、.1.3设A和B是两个集合。若AcB且B^A,则称A与B相等，记为A=B,否则称A与B不等，记为AHB。［例3.1.7］A={x
19、x2-x=0KxgR},B={0,1},贝ijA=B0［例3.1.8］判断下列命题的真假：①匸①，OgO,①匸{①},Og{^},{◎}€{{}},{(DJefOJO}},0£{{0}},{0>}c{{20、集，记作ACB,即ACB={x
21、xGAfl.xGB}o若AnB=O>,则称A与B不相交。(2)称由A与B的所有元素组成的集合为A与B的并集，记作AUB,即AUB={x
22、xeA或xwB}。(3)称由属于A但不属于B的元素组成的集合为B对A的相对补集，记作A-B,即A—B={x
23、xgA且xgB}o特别地,若A=U,则称U-B为B的补集,记作万。U=①，①=“。[例3.2.1]设A={2,3},B={1,5,8},C={3,6},U={1,…，10},求AuB,CcB,A—B,B—A,Bo定理3.2.1(集合运算的性质)对全集U和任意集合A,B,
24、C,有(1)AcAuB,BcAuB；AnBeA,AnBcB；(2)A-BcA；A—B二ACB；(3)AcC,BcC^>AuBcC；AcB,AcC^>AcBnC；(4)AcB=>B
