对数型复合函数的单调性

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1、对数型复合函数的单调性高考数学左老师 2017-08-2707:31有一类所谓的复合函数问题，尤其令人挠头.示例如下：你听过复合材料，复合型人才，什么叫“复合函数”呢？以本题为例，函数f(x)是对数函数吗？不是，只是有点像.是二次函数吗？也不是.我们无法把它归为学过的基本函数之一.但是，它和我们学过的对数函数、二次函数有部分相似的地方.通俗地讲，u是一座桥梁，或者说是一个中间人，通过它，y和x建立了对应关系.把一个复杂的函数看成由两个简单函数复合而成（本题对数函数和二次函数都是我们熟悉的，方便研究它们的性质），体现了数学的转化与化归思想----即把一个陌生的问题转化为

2、熟悉的问题来处理.下面给出复合函数的高大上的定义.比如，上面这个例子童鞋们比较困惑的可能是内层函数、外层函数、复合函数的自变量、函数值是一样的吗？外层函数y=f(u)以u为自变量以y为函数值内层函数u=g(x)以x为自变量以u为函数值复合函数y=f(g(x))以x为自变量以y为函数值细心的读者一定会发现：u充当了外层函数的自变量，也充当了内层函数的函数值.为了解决本题，需要说说复合函数的单调性规律，这就是大家熟知的“同增异减”规律.外层函数内层函数复合函数（原函数）增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数也就是说，如果外层函数和内层函数

3、单调性相同，则原函数单调递增；如果外层函数和内层函数单调性相反，则原函数单调递减.(为表述简洁，单调性的描述没有说“在某某区间上”，童鞋们自己要体会到)我把这个规律概括为“家和万事兴”--------内层、外层都是家庭的成员，不在乎它们自个儿是升迁还是降职，只要意见一致，保持团结，这个家庭就是蒸蒸日上的.回到本题.外层函数是对数函数，单调性由a确定，a与1的大小关系未知，需要分类讨论.内层函数是二次函数，单调性由开口方向、对称轴和定义域共同决定，也需要分类讨论.画出内层函数的草图，研究其为增函数的条件.仅仅这样还是不够的.这里的易错点在于，容易忽略外层函数定义域的要求

4、，即必须保证u>0.再次强调，不要忽略真数部分恒为正数的前提条件.下面讨论0