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《二次函数与周长最小的问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、周长最小问题基本解题方法：1.如图，已知抛物线y=ax2-4x+c经过点力（0,-6）和〃（3,一9）.（1）求抛物线的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；（3）点P（777,加）与点Q均在抛物线上（其中加＞0）,且这两点关于抛物线的对称轴对■称，求加的值及点Q的坐标；（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M,使得的周长授小.[qX(T-4xO+c=-6解：⑴依题意有XJx3+c=-9c=—6即9a—12+c=—92分a=lA疋4分c=_6・°・抛物线的解析式为：y=x2—4x—65分(2)把y=x2-4x-6配方，得j；=Cr-2)2-10・••乂寸利〈轴方程为
2、兀=27分顶点坐标(2,-10)10分(3)由点P(〃?，m)在抛物线上得加=”/—4加一612分即加“—5〃？—6=0・・・加］=6或〃血=一1(舍去)13分:,P(6,6)•・•点、P、0均在抛物线上，且关于对称轴兀=2对称:.Q(-2,6)15分(4)连接/P、AQ,直线/P与対称轴兀=2相交于点M由于F、0两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M能够使得伽的周长最小17分设直线AP的解析式为y=kx+bb=-6则h+A6k=2b=—6.:直线/P的解析式为：y=2x—618分Ax设点M(2,Q贝IJ冇”=2X2—6=—219分此时点M(2,-2)能够使得的周长最小20分1.
3、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-y/3x-y/3与x轴交于点力，与y轴交于点C,抛物线尹=ax2—^^-x+c(qHO)经过点力、C,与x轴交于另一点3(1)求抛物线的解析式及顶点D的处标；(2)若P是抛物线上一点，H/ABP为直角三角形，求点P的处标；(3)在肓线AC±是否存在点0,使得的周长最小，若存在，求出0点的坐标；若不存在，请说明理由.(1)*/直线y=-x-^3与x轴交于点力，与y轴交于C••A(—1,0),C(0,—V3)・・•点儿C都在抛物线上O就是所求的点AO・・・抛物线的解析式为尹=匣/一型兀一能=匣&一1)2_土°・・・顶点Q的坐标为(1,一也)33333(2)令
4、—X2-—x-V3=0,解得旳=—1,x2=3：.B(3,0)33~・・・仙2=(1+3)2=16,ac2=}2+(a/3)2=4,BC2=32+(a/3)2=12:.AC2+BC2=AB2f:./XABC是直角三角形・・・P
5、(0,-a/3).-V3)*由抛物线的对称性可知A的纵坐标为-侖，代入抛物线的解析式求得：Pi(2,-(3)存在.延长到点"，使B'C=BC,连接交直线于点0,.则0点过点3’作丄x轴于H在Rt^BOC中，•:BC=&i=2爲,:.BC=20C：.ZOBC=30。:・B'H=LbB'=BC=2爲,BH=4^B'H=6,：・OH=322Bf:.Bf(-3,-2^3)设直
6、线ER的解析式为y=kx+b,贝ij：r3x=—7解得Vy=-10V37故在直线/C上存在点0,使得的周长授小，0点的坐标为（寸,1.在平iflj直角坐标系中，矩形Q4CB的顶点0在坐标原点，顶点力、3分别在x轴、尹轴的正半轴上,0/=3,0B=4,D为边OB的屮点.(I)若E为边O力上的一个动点，当ACDE的周长最小时，求点E的坐标；(II)若E、F为边0/上的两个动点，只EF=2,当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.解：(I)如图1,作点D关于x轴的对称点D',连接CDS轴交于点E,连接DE若在边CU上任取点£（与点E不重合），连接CF、DEDEHide,+ce,=d,e,
7、+ce,>cd,=d,e+ce=de+ceHj知△CDE的周长最小•・•在矩形Q4CB屮，Q4=3,Q5=4,D为边OE的屮点・・・BC=3,D'O=DO=2,D'B=6、：OEHBC、.,.RtAZ）/OE^RtAZ）^C,—=—BCDBDO2A0E=—・5C=-x3=lDB6・••点E的处标为（1,0）6分(II)如图2,作点。关于兀轴的对称点在C3边上截取CG=2,连接D'G与x轴交于点E,在E4上截取EF=2,则四边形G£FC为平行四边形，得GE=CF又DC、EF的长为定值，・•・此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小^OE//BC,・・・RtZVyOEsRt/v)2G,—=—
8、BGDB:.OE=—・BG=—・(BC—CG)=-x]=-DBDB6317•••OF=OE+EF=-+2=-3317•:点E的处标为(丄，0)，点F的处标为(上，0)10分333.如图，抛物线y=（vc2+bx+4与x轴的两个交点分别为/（—4,0）、B（2,0）,与尹轴交于点C,顶点为D.E（1,2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线Mx轴、尹轴分別交于F、G.（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标
