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《八年级数学竞赛讲座第二十讲飞跃-从全等到相似新版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二十讲飞跃-从全等到相似全等三角形是和似三角形的相似比等于1的特殊情况，从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃，不但认识形式上有质的变化.而且思维方式也产生突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题屮出现的线段间的关系比全等形屮的等暈关系复杂，不仅有比例式,还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等.通过寻找（或构造）相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面冇广泛的应用，是几何学中应用最广泛的方法之一.熟悉以下形如“A型”、“X型”“了母型”等和似三角形.例题
2、求解【例1】如图,AABC中，ZABO60'°，点P是AABC内一点,使得ZAPB=ZBPC=ZCPA,且PA二8,PC二6,则PB二（全国初中数学竞赛题）思路点拨PA、PB、PC分別是AABP、ABCP的边，从判定这两个三角形的关系入手.注相似是儿何中的一个概念，但相似性不仅表现在事物的儿何形态上，而且还体现在事物的功能、结构、原理上.类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程屮，著名物理学家麦克斯韦曾说：“借助类比,我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式.”在新事物面前，人们往往习惯于把它们M原有的、熟知的事物相比.这里蕴含
3、的思想方法就是类比.【例2】a、b、c分别是SBC的三边的长，且卜為,则它的内角ZA、ZB的关系是（）A.ZB>2ZAB.ZB二2ZAC.ZB<2ZAD.不确定（全国初中数学联赛试题）思路点拨先化简己知等式，根据所得等式构造相应线段，通过全等或相似寻找角的关【例3】如图,在厶ABC中,AB二AC,AD是中线，卩是AD上一点,过C作CF〃AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求证：BP—PEXPF（吉林省中考题）思路点拨由于BP、PE、PF在同一条直线上，所以必须通过作辅助线寻找等线段來转化问题.【例4】如图，在矩形ABCD中，E为AD的中
4、点，EF丄EC交AB于F,连结FC（AB>AE）.（l）AAEF与AEFC是否相似，若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由；⑵设罟十是否存在这样的血，使8EF与8FC相饮若存在，证明你的结论并求出R的值：若不存在，说明理由.（重庆市屮考题）思路点拨本例是一道存在性探索问题，对于（2）,假设存在，则RtAAEFLjRtABFC中有一对锐角相等，怎样由边的比值得出角的关系?不妨从特姝角入手，逆推求出£的值.【例5】如图，/^眈和厶AiBiC!均为正三角形,BC和BQ的中点均为D.求证：AA」CC】・（重庆市竞赛题）思路点拨作出等边三角形最
5、基本的辅助线，并延长Am乂us」量，寸我相似三角形,证明ZA=90°.注比例线段（或等积式的）证明是儿何问题屮的常见题型.基本证法有:（1）从相似三角形入手；（2）利用平行截割定理.有时需根据要证明的式子，过恰当的点作平行线，在具体证明过程中，常常要作等线段代换、等比代抉或等积代换，以促使问题的转化.将问题直于儿何问题的背景屮探索，要综合运用儿何代数知识，多角度思考尝试，需要注意的是，若题目没有指岀具体的对应关系，结论常常具有不确定性，需要分类讨论.学力训练1.如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个AABC,在网格上，画
6、出―个与AABC相似且血积最大的△ARG,使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，则△AiBiCi的面积是1A4（第1也】（泰州市中考题）《第2題>2.如图,在AABC中，AB=15cm,AC=12cm,AD是ZBAC的外角平分线,DE/7AB交AC的延长线于点C,那么CE二cm.（重庆市中考题）3.如图，正方形ABCD的边长为2,AE二BE,MN二1,线段MN的两端点在CB、CD上滑动，当（桂林市中考题）1.如图，在正方形ABCD屮，E是BC的中点，F是CD上一点，AE1EF,有下列结论：①ZBAE=300；②CE^ABXCF；③CF=-
7、CD；⑥、ABEAAEF.其中正确结论的序号3是.（黄冈市中考题）2.如图，在AABC中，ZBAC二90°,D是BC中点，AE丄AD交CB延长线于点E,则结论正确的是（）A..AAEDt^AACDB.AAEB^AACDC.ABAEVAACED.AAEC^ADAC（江苏省竟赛题）BF_HB~FC~~ECAF）Q3.如图，梯形ABCD中，AD〃BC,ZABC二90°,对角线AC丄BD于P,若—则竺的值是（）ACA.—B.-C.—D.-（2000年绍兴市中考题）23344.如图，将AADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,f#AABF,
8、连结EF交AB于H,则下列结论错误的是（）A.AE丄AF.B.EF：AF二"：1C.AF^FHXFEo5.如图，在等边AABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且ZAPD二60°,BP二1,
