2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题13计数原理理（含解析）

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1、专题13计数原理1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12B．16C．20D．24【答案】A【解析】由题意得x3的系数为，故选A．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项．故答案为：，．【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特

2、别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．3．【2019年高考江苏卷理数】设．已知．（1）求n的值；（2）设，其中，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，所以，．因为，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因为，所以，从而．解法二：．因为，所以．因此．【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．4．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试】已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为A．14B．C．240D．【答案】C【解析】二项展开式的第

3、项的通项公式为，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：．即，解得或（舍去）．所以，令，解得，所以的系数为．故选C．【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．5．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）】已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A．B．C．D．【答案】D【解析】令1，得展开式的各项系数和为，，，，所求展开式中常数项为的展开式的常数项与项的系数和，展开式的通项为，令得；令，无整数解，∴展开式中常数项为，故选D．【点睛】本题主要考查二项展

4、开式定理的通项与各项系数和，属于中档题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用．6．【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学】展开式的常数项为A．B．C．D．【答案】D【解析】展开式的通项公式为，令，得，∴所求常数项为：，故选D．【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题．7．【河南省濮阳市2019届高三5月模拟考

5、试】安排，，，，，，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有A．30种B．40种C．42种D．48种【答案】C【解析】名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：种安排方法，其中照顾老人甲的情况有：种，照顾老人乙的情况有：种，照顾老人甲，同时照顾老人乙的情况有：种，∴符合题意的安排方法有：种，故选C．【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解．8．【上海市浦东新区2019届高三下学期期中教学质

6、量检测（二模）数学试题】二项式展开式的常数项为第_________项．【答案】4【解析】由二项式展开式的通项公式得：Tr+1（2x）6–r（）r＝（–1）r26–2rx6–2r，令6–2r＝0，得r＝3，∴T4为常数项，即二项式展开式的常数项为第4项，故答案为：4．【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，属基础题．9．【河北省唐山市2019届高三第二次模拟考试】将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_________种．（用数字作答）【答案】660【解析】若甲校2人，乙

7、、丙、丁其中一校2人，共有种，若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有种，则不同的分配方案共有+种，故答案为：660．【点睛】本题考查排列组合，分类讨论思想，对每个学校人数讨论是关键，是基础题．10．【上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题】已知，且，那么的展开式中的常数项为_________．【答案】–20【解析】∵，令，可得，∴，∴，那么，即的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：–20．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．11．【江西省南昌市南昌

8、外国语学校2019届高三高考适应性测试数学试卷】设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为，若，