数值分析 第8章 非线性方程求根

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1、第九章非线性方程（组）求根问题驱动：全球定位系统（GPS）人类对导航和定位的需求是伴随着人类整个文明历史的进步而发展的，中国古代“四大发明”之一的指南针是最早的定位仪器和系统，其后还有经纬仪以及近代的雷达。如图9.1.1所示全球定位系统（GPS）是基于卫星的导航系统，最早由美国和前苏联分别在80年代研制，并于1993年正式投入使用。现代社会中全球定位系统越来越深入到人们生活的方方面面。例如市场上出售的手持型GPS，定位的精度可以达到10米以内，这无疑给旅行者提供了方便；安装有GPS的儿童手表，家长在家里的计算机上可以追

2、踪到孩子的位置，防止儿童走失；安装有GPS系统的汽车可以帮助新司机辨识道路等等。图9.1.1卫星定位示意图美国和前苏联的GPS都包括有24颗卫星，它们不断地向地球发射信号报告当前位置和发出信号的时间，卫星分布如图9.1.2所示。它的基本原理是：在地球的任何一个位置，至少同时收到4颗以上卫星发射的信号。发射的信号，设地球上一个点R，同时收到卫星假设接收的信息如表9.1.1所示。请设法确定R点的位置。图9.1.2卫星分布图表9.1.1GPS导航问题可归结为求解非线性代数数方程组,当时就是单个方程.（9.1.1）。.其中，可

3、以是代数方程，也可以是超越方程。使成立的x值称为方程的根，或称为计算中，如电路和电力系统计算、非线性力学、非线性微（积分）方程、非线性规划（优化）等众多领域中，问题的求解和模拟最终往往都要解决求根或优化问题。前一种情形要求出方程（组）的根；后一种情形则要求找出函数取最大或最小的点。即使是对实验数据进行拟合或数值求解微分方程，也总是将问题简化成上述两类问题。上述除少数特殊方程外，大多数非线性代数方程（组）很难使用解析法求解精确解，一般需要通过一些数值方法逼近方程的解。这里主要介绍单个方程的数值解法，方程组也可以采用类似的

4、方法，将放在后面讨论。的零点。科学与工程1．根的存在性。方程有没有根？如果有，有几个根？2．根的搜索。这些根大致在哪里？如何把根隔离开？3．根的精确化。f(x)=0（9.2.1）1.根的存在性定理1：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，如果f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内至少有一实根x*。定义：如果存在使得，则称为方程（9.2.1）的根或函数的零点。m重根若其中，为正整数，则当m=1时，称为方程（9.2.1）的单根或函数的单零点。称为方程（9.2.1）的m重根或函数的m重零点。当时，2.根的搜

5、索(1)图解法（利用作图软件如Matlab)(2)解析法(3)近似方程法(4)定步长搜索法abx*f(x)1．画出f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的位置。2．从左端点x=a出发，按某个预先选定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0和终点x0+h的函数值，若那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h作为根的初始近似。开始读入a,hax0f(x0)y0x0+hx0f(x0)y0>0打印结束否是继续扫描例1：考察方程x00.51.01.5f(x)的符号－－－＋abx1x2ab或

6、不能保证x的精度x*2xx*§1二分法执行步骤1．计算f(x)在有解区间[a,b]端点处的值，f(a)，f(b)。2．计算f(x)在区间中点处的值f(x1)。3．判断若f(x1)=0，则x1即是根，否则检验：（1）若f(x1)与f(a)异号，则知解位于区间[a,x1]，b1=x1,a1=a;（2）若f(x1)与f(a)同号，则知解位于区间[x1,b]，a1=x1,b1=b。反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：4、当时，停止；即为根的近似。当时，，即这些区间必将收缩于一点，也就是方程的根。在实际计算中，只要的区

7、间长度小于预定容许误差就可以停止搜索，即然后取其中点作为方程的一个根的近似值。注：例1证明方程存在唯一的实根用二分法求出此根，要求误差不超过。解：记，则对任意，因而，是严格单调的，最多有一个根，所以，有唯一实根又因为用二分法求解，要使，只要解得，取。所以只要二等分7次，即可求得满足精度要求的根。计算过程如表9.2.1所示kf(ak)及符号f(xk)及符号f(bk)及符号012345670(－)0(－)0(－)0(－)0.0625(－)0.0625(－)0.078125(－)0.0859375(－)0.5(+)0.25(

8、+)0.125(+)0.0625(－)0.09375(+)0.078125(－)0.0859375(－)1(+)0.5(+)0.25(+)0.125(+)0.125(+)0.09375(+)0.09375(+)0.09375(+)表9.2.1所以，①简单;②对f(x)要求不高(只要连续即可).①无法求复根及偶重根②收敛慢二分法的优