24.2.2直线和圆的位置关系(3)

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1、24.2.2直线和圆的位置关系(第3课时)问题1、经过平面上一个已知点,作已知圆的切线会有怎样的情形?·O·O·OP·P·P·A问题2、经过圆外一点P,如何作已知⊙O的切线?P·OA切线长:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长,叫做这点到圆的切线长.引入新知若从⊙O外的一点引两条切线PA,PB,切点分别是A、B,连结OA、OB、OP,你能发现什么结论?并证明你所发现的结论。APO。BPA=PB∠OPA=∠OPB证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点∴OA⊥PA,OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA

2、=OB,OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB试用文字语言叙述你所发现的结论PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。切线长定理APO。B几何语言:反思:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法我们学过的切线,常有五个性质:1、切线和圆只有一个公共点;2、切线和圆心的距离等于圆的半径;3、切线垂直于过切点的半径;4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点;5、经过切点垂直于切线的直线必过圆

3、心。6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个APO。BM若连结两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线∴OP垂直平分ABAPO。B若延长PO交⊙O于点C,连结CA、CB,你又能得出什么新的结论?并给出证明.CA=CB证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴PC=PC∴△PCA

4、≌△PCB∴AC=BCC例.PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线OP交于⊙O于点D、E,交AB于C。BAPOCED(1)写出图中所有的垂直关系OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP(3)写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP,△AOC≌△BOC,△ACP≌△BCP(4)写出图中所有的等腰三角形△ABP△AOB(5)若PA=4、PD=2,求半径OA(2)写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC。PBAO(3)连结圆心和圆外一点(2)连结两切点(1)分别连结圆心和切点反思:在解决有关圆的切线

5、长问题时,往往需要我们构建基本图形。(2)已知OA=3cm,OP=6cm,则∠APB=PABCO60°(4)OP交⊙O于M,则,ABOPAM=BM⌒⌒M⊥(3)若∠P=70°,则∠AOB=°110(1)若PA=4、PM=2,求圆O的半径OAOA=3课外练习与三角形个边都相切的圆叫做三角形的内切圆。.o.o.o..o外切圆圆心:三角形三边垂直平分线的交点。外切圆的半径:交点到三角形任意一个定点的距离。三角形外接圆三角形内切圆.o内切圆圆心:三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径:交点到三角形任意一边的垂直距离。AABBC

6、C例1△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD、CE的长.解:设AF=x(cm),BD=y(cm),CE=z(cm)∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).∵⊙O与△ABC的三边都相切∴AF=AE,BD=BF,CE=CD则有x+y=9y+z=14x+z=13解得x=4y=5z=9例.如图,△ABC中,∠C=90º,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F,且BD=12,AD=8,求⊙O的半径r.OEBDCAF明

7、确1.一个三角形有且只有一个内切圆;2.一个圆有无数个外切三角形;3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点;4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。例2、如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P,求证:AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明:由切线长定理得∴AL=AP,LB=MB,NC=MC,DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC例题讲解1.如图,△ABC中,∠ABC=50°∠ACB=75°,点O是内心,求∠BOC的读数.解:

8、∠BOC=180°-(∠ABC+∠ACB)=117.5°=180°-(50°+75°)A·CBO课堂练习2.△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积.(提示:设内心为O,连接OA、OB、OC.)解:设:AB=aBC=aAC=b则CAB·ODMNrrr课堂练习

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