趣味数学小知识

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1、多边形　　在数学这个奇妙的王国里，那些长短不一的线段经人们按一定规则排列和组合，竟会生成五花八门的图形，确实令人惊叹不已。从字面上看多边形这个概念是很容易理解的，就是由一些线段首尾顺次相接组成的图形。组成多边形的线段叫做多边形的边，有n条边的多边形称为n边形。显然最简单的多边形是三边形，通常称为三角形。由于任意一个多边形可以通过适当连接边的公共端点(即多边形的顶点)得到的多边形的对角线将多边形分为若干三角形，因此多边形的很多问题最终可以归结到三角形上。比如由平行公理很容易推出三角形内角和为180°，从

2、而进一步可以得到n边形的内角和为(n-2)·180°。如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长线的一侧，那么这个多边形就叫凸多边形。中学数学里除非特别说明，所说的多边形均指凸多边形。大家知道，多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，而多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。取多边形每一个内角的一个邻补角，它们相加的和叫做多边形的外角和，由外角和的定义以及内角和可以得出n边形的外角和为n·180°-(n-2)·180°=360°。当然，这个结论也可以按以下方式来更直观的

3、理解：以五边形为例,假设有人站在A1处面向A2，下达指令后，他开始沿五边形的边逆时针行走，规定不在端处不得改变行进方向。于是这个人走到A1时，逆时针转一个角度(∠A1的外角)开始面向A2行进……当他这样回到A1时再逆时针转一个角度(∠A2的外角)恢复到行进前的状态。这时，这个人所转过的角度正好是五边形A1A2A3A4A5的外角和，而显然，他恰转了一圈，360°。对于任意n边形当然同样只能是360°。　　一般地，n边形的内角中，最多有3个锐角。事实上，如果某一n边形的内角中有4个或4个以上的锐

4、角，则这个n边形有4个或4个以上的外角，从而外角和必大于360°，这是不可能的。反证法　　有时候，人们用正向思维解答不了的问题，用逆向思维往往可以轻而易举地解决。数学证明也有相同的情形，靠一般方法难以奏效时，反证法会助人一臂之力。　　反证法是数学证明中的一种重要方法，它是从否定命题的结论出发，通过正确的逻辑推理导出矛盾，从而证明了原命题的正确性的一种重要方法。反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的。在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题

5、的方法之一。　　比如，求证：形如4n+3的整数不能化为两整数的平方和。　　用反证法证明的过程是这样的：假设p是4n+3型的整数，且p能化成两个整数的平方和，即p=a+b，则由p是奇数得a、b必为一奇一偶。不妨设a=2s+1，b=2t，其中s、t为整数，p=a+b=(2s+1)+(2t)=4(s+s+t)+1，这与p是4n+3型的整数矛盾。　　再比如，证明：△ABC内不存在这样的点P，使得过P点的任意一条直线把△ABC的面积分成相等的两部分。　　假设在△ABC内存在一点P，使得过P点的任

6、一条直线把△ABC的面积分成相等的两部分(如图)。连接AP、BP、CP　　并分别延长交对边于D、E、F。由假设，S△ABD=S△ADC，于是D为BC的中点，同理E、F分别是AC、AB的中点，从而P是△ABC的重心。过P作BC的平行线分别交AB、AC于M、N，则,这与假设过P点的任一条直线把△ABC的面积分成相等的两部分矛盾。斐波那契数列　　1202年，意大利比萨的数学家斐波那契(约1170年～约1250年)在他所著的《算盘书》里提出了这样一个有趣的问题：　　假定1对一雌一雄的大兔，每月能生一雌一雄的1

7、对小兔，每对小兔过两个月就能长成大兔。那么，若年初时有1对小兔，按上面的规律繁殖，并且不发生死亡等意外情况，1年后将有多少对兔子？　　我们来分析一下：第一个月时，有小兔1对；第二个月时，小兔还没有长大，因此兔子数仍是1对；第三个月时，小兔已长成大兔，并且生下1对小兔，这时兔子数是2对；第四个月时，原来的兔子又生了1对小兔，但上个月刚生的小兔尚未成熟，这时兔子数是3对；第五个月时，原来的兔子又生了1对小兔，第三个月出生的小兔这时也已长大并且也生了1对小兔，因此共有兔子5对；一直这样推算下去，可以得到下面

8、的表：　　如果仔细观察，就不难发现其中的规律：从第三个月份起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和。表中兔子对数构成的一列数1，1，2，3，5，8…就称为斐波那契数列。斐波那契数列有很有趣的性质和重要的应用。分类讨论　　日常生活中，人们经常会遇到一些十分棘手的问题。面对这类问题，有些人常显得手足无措。实际上，只要同学们肯动脑筋、想办法，问题总是可以得到解决的。这其中，分类讨论就不失为一种有效的方法。　　分类讨论是指同学们解决一个复杂问题时，应将讨论