高中数学竞赛辅导讲座三角形心的性质及其应用

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1、三角形心的性质及其应用主讲老师：刘汉斌一、基础知识：1.设G是△ABC的重心，AG交BC于D，则⑴BD＝DC；⑵AG∶AD＝2∶3；⑶AD2＝(2AB2＋2AC2－BC2)；⑷S△ABC＝S△GBC2.设⊙O(R)是△ABC的外接圆，则⑴OA＝OB＝OC＝R；⑵∠BOC＝2∠A或2(180°－∠A)⑶S△ABC＝3.设△ABC的内切圆⊙I(r)与AB切于P,AI的延长线交外接圆于D，则：⑴∠BIC＝90°＋；⑵AP＝r·ctg－a；⑶DB＝DI＝DC；⑷S△ABC＝r·4.设O、G、H分别是△ABC的外心、重心和垂心，OD⊥BC于D

2、，AH的延长线交外接圆于H1，则：⑴AH＝2OD；⑵H与H1关于BC成轴对称；⑶S⊙HBC＝S⊙ABC；⑷O、G、H三点共线，且OG∶GH＝1∶21.设△ABC在∠A内的旁切圆⊙I1(r1)与边AB的延长线切于P1，则：⑴∠BI1C＝90°－；⑵AP1＝r1ctg；⑶BP1＝；⑷∠AI1B＝；⑸S△ABC＝r1·二、例题ABCDEFF'GH'HG'E'O例1.设凸四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，△OAB、△OBC、△OCD、△ODA的重心分别为E、F、G、H，则SEFGH∶SABCD＝__________.解：如图，设E'

3、，F'，G'，H'分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连结E'F'，F'G'，G'H'，H'E'.则四边形EFGH∽四边形E'F'G'H'且由图易见，SE'F'G'H'＝SABCD于是例2.已知BD和CE是△ABC的两条中线，求证：BD2＋CE2＞BC2证法一：设BC＝a，AC＝b，AB＝c则由三角形中线公式BD2＝(2AB2＋2BC2－AC2)CE2＝(2AC2＋2BC2－AB2)∴BD2＋CE2＝(4BC2＋AB2＋AC2)＝(4a2＋b2＋c2)＝[8a2＋(b＋c)2＋(b－c)2]≥[8a2＋(b＋c)2]＞[8a2＋a

4、2]＝a2(∵b＋c＞a)即BD2＋CE2＞BC2证毕！ABCDEFG证法二：设CE、BD交于G，连结AG并延长交BC于F，则在△GBC中，由三角形中线公式GF2＝(2BG2＋2CG2－BC2)得BG2＋CG2＝2GF2＋BC2即(BD)2＋(CE)2＝2GF2＋BC2∴(BD2＋CE2)＝2GF2＋BC2∴BD2＋CE2＝(4GF2＋BC2)＞BC2证毕！例1.凸四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于P，△PAB与△PCD的外心分别为O1、O2，求证：四边形PO1OO2为平行四边形.ABCDHGP4312EOO2O1证明

5、：如图，延长O2P交AB于E，作O2H⊥PD于H，O2G⊥PC于G则DH＝PH，PG＝CG连结HG，则HG∥CD∴∠3＝∠PHG又O2、H、P、G四点共圆所以：∠PHG＝∠PO2G＝∠3即∠3＋∠4＝90°……⑴但∠4＝∠2，∠3＝∠1∴∠1＋∠2＝90°∴PE⊥AB由O、O1是AB中垂线上的点得：OO1⊥AB∴PO2∥OO1同理可证：PO1∥OO2即证得：PO1OO2是平行四边形证毕！例1.△ABC中，若∠A、∠B、∠C的平分线与外接圆分别交于P、Q、R，则AP＋BQ＋CR＞BC＋CA＋ABBACPQRIO证明：(利用三角形两边之

6、和大于第三边)∵AI＋BI＞AB(I为△ABC之内心)BI＋CI＞BCCI＋AI＞AC∴2(AI＋BI＋CI)＞AB＋BC＋CA⑴又∵PB＝PI＝PC(内心性质)∴2PI＞BC，2QI＞AC，2RI＞AB⑵⑴＋⑵:AP＋BQ＋CR＞BC＋CA＋AB证毕！例1.设I是△ABC的内心，CI的延长线与边AB和外接圆分别交于D和K，求证:BACKIO213D证明：⑴连结KB，如图有∠2＝∠3＝∠1∠BKD＝∠BKC于是可得：△KDB∽△KBC∴，而BK＝IK∴…………⑴又在△BDC中，由内分定理…………⑵由⑴⑵:Þ证毕！⑵由⑴证得：∴＝1证

7、毕！例1.已知△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，试求∠A的度数.图⑴60°30°DCBOHEAAEHOBCD30°60°图⑵解：⑴如果垂心在三角形内，如图⑴作OD⊥BC于D，由OD＝AH＝BO＝R可知∠OBD＝30°从而∠BOD＝60°即∠A＝60°⑵如果垂心在三角形外，如图⑵作OD⊥BC于D由OD＝AH＝R连结BO并延长交⊙O于E，连结CE可知∠OBD＝30°∴∠BEC＝60°从而∠BAC＝∠A＝180°－∠BEC＝180°－60°＝120°例1.已知△ABC的内切圆⊙I与BC边切于D，DE是⊙I的直径，AE的延长

8、线交BC边于F，求证：BD＝CF.ABDCGabcHII1EF证明：设AB＝c,AC＝b,BC＝a则BD＋b＝(a＋b＋c)∴BD＝(a＋c－b)⑴下面仅需证明CF＝(a＋c－b)为此，作FI1⊥BC交AI的延长线于I1,I1G⊥AC