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1、竞赛讲座(应用题三）一、知识要点数学应用题涉及的题材广泛，内容丰富。大到卫星上天，小到日常生活，无时无地不体现数学的作用。数学应用题我们不能局限于几种类型，主要的是要增强应用数学的意识，提高处理数学应用题的能力。解决数学应用题的关键是从数学应用题中抽象出数学模型，把数学应用题转化成一个数学问题来解决。二、例题精讲例1某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果。已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元，某天该商店销售这三种搭配共得441.2元
2、，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为元。(2000年全国初中数学联合竞赛试题)解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x、y、z套，依题意有、∴消去x得：31(y+z)=465，故y+z=15所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为15´10=150评注：本题列出的是不定方程，要求出x、y、z是不可能的，但本题只要整体地求出y+z就行了。例2某班参加一次智力竞赛，共a、b、c三题，每题或者得满分或者得0分。其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有一人，答对其中两道题的有15人。答对题a的人数与答对题b的人数之
3、和为29；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20。问这个班平均成绩是多少分？(1999年全国初中数学联合竞赛二试试题)解：设答对题a、答对题b、答对题c的人数分别为x、y、z，则有所以答对一题的人数为：37-1´3-2´15=4全班人数为：1+4+15=20故全班平均成绩为答：这个班平均成绩是42分评注：本题是通过设间接未知数来列方程，设未知数的方法一般和直接和间接两种。例3在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200公里，每辆巡逻车可装载供行驶14天的汽油。现有5辆巡逻车同时从驻地A出发，完成任务后再沿原路返回驻地，为了让其中三辆尽可能向更远的
4、距离巡逻(然后再一起返回)，甲、乙两车行至途中B处后，仅留足自己返回驻地所必须的汽油，将多余的汽油留给另外三辆使用，问其它三辆可行进的最远距离是多少公里？(1995年河北省初中数学联合竞赛试题)解：设巡逻车行到途中B处用了x天，从B处到最远处用了y天，则有2[3(x+y)+2x]=14´5，即5x+3y=35又由题意，需x>0，y>0且14´5–(5+2)x≤14´3，即x≥4从而问题的本质是在约束条件之下，求y的最大值，显然y=5，这样，200´(4+5)=1800(公里)所以其它三辆可行进的最远距离是1800公里例4龙九想知道圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔和荧光笔的价格，这些笔中每
5、两种笔(每种各一支)装一盒，它们的价格分别是250元、290元、320元、340元、360元、370元、390元、410元、430元、480元。铅笔比彩笔便宜30元，签字笔比圆珠笔贵，荧光笔比签字笔贵。求出每种笔的价格。(第一届汉城国际数学竞赛试题)分析：设光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是a>b>c>d>e元,每两种笔合在一起，可以得出10个和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.由光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格的大小关系得出a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小，从而列出方程组。解：设荧光笔、签字笔、圆珠笔、
6、彩笔、铅笔的价格分别是a>b>c>d>e元,每两种笔合在一起，可以得出10个和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.其中a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小。所以(1)-(2)得：b-c=50(5)(5)+(3)得：b+e=340(6)在上面10个和中，c+d肯定小于b+d，但是否比b+e小，难以断定，现在b+e=340，所以c+d=320(7)(3)+(4)+(7)得2(c+d+e)=860所以c+d+e=430从而可得：c=180，d=140，e=110进一步可得：b=230，a=250即荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的
7、价格分别是250元、230元、180元、140元、110元评注：本题未知数多，方程也多，必须仔细分析题意，理清它们的关系，才能正确求解。例5有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？分析：设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x、y、z元，由题意，很容易得出二条方程，但二个方程三个未知数，无法求出x、y、z，实质上，此题的目标不是求x、y、z，而是求x+y+z，我们可以设
