全等三角形经典例题详解

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1、【例题精选】:例1:已知:如图,过DABC的顶点A,作AF⊥AB且AF=AB,作AH⊥AC,使AH=AC,连结BH、CF,且BH与CF交于D点。求证:(1)BH=CF(2)BH⊥CF例2:已知,如图:BD、CE是DABC的高,分别在高上取点P与Q,使BP=AC,CQ=AB。求证:AQ=AP例3:已知:如图,OA=OB、OC=OD求证:AE=BE例4:已知:如图,AD∥BC,AE、BE分别平分∠DAB和∠CBA,DC过点E。求证:AB=AD+BC例5:已知:如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD、CE⊥

2、AB于E,且∠B+∠D=180°。求证:AE=AD+BE例:已知:如图,在DABC中,D是BC的中点,E、F分别在AC、AB边上,∠EDF=90°。求证:例1分析:从图中可观察分析,若证BH=CF,显然,若能证出DABH≌DAFC,问题就能解决。从已知看,已经知道AF=AB,AC=AH。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等,显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看,∠BAF和∠HAC都是直角。而图中的∠BAC显然是公共角,根据等式性质,问题可以顺利解决。证明:

3、(1)∵AF⊥AB,AH⊥AC∴∠BAF=∠HAC=90°∴∠BAF+∠BAC=∠HAC+∠BAC∴即∠FAC=∠BAH在DABH和DAFC中∴DABH≌DAFC(边角边)∴BH=FC(全等三角形对应边相等)(2)设AC与BH交于点P在DAPH中∵∠HAP=90°∴∠2+∠3=90°(直角三角形中两个锐角互余)∵∠1=∠2(全等三角形对应角相等)∠3=∠4∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°在DPDC中∵∠1+∠4=90°∴∠HDC=90°∴BH⊥CF例2分析:从要证的结论AQ=AP,只有在DABP和DQCA

4、中找对应原素,不难发现,已经有BP=AC、CQ=AB,也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等,全等就可以了,问题的关键在于如何找出∠1=∠2?再分析已知条件,不难看出,既然BD、CE都是高,就有∠BDA=∠CEA=90°,这样就可看出∠1和∠2都是∠BAC的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到∠1=∠2,这样问题就可以迎刃而解了。证明:∵BD⊥AC于DCE⊥AB于E∴∠BDA=∠CEA=90°∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°∴∠1=∠2在DABP和DPCA中∴DABP≌

5、DQCA(边角边)∴AQ=AP(全等三角形对应边相等)例3分析:从要证明的结论AE=EB看,我们不难看出,应当在DADE和DBCE中去寻找答案,而要证明DADE≌DBCE,比较明显的有一组对顶角相等,即∠AED=∠BEC,另外可以通过等式性质得到,OA-OD=OB-OC,即AD=BC,那么这两个三角的全等条件仍然差一个,从证明的结论AE=BE上分析,不可能再寻找边的对应相等了,那么只有找一组对应角是否相等就可以了,如能否证出∠A=∠B(或∠ADE=∠BCE),∠A=∠B除了是DADE和DBCE的对应角外,

6、它们还是DAOC和DBOD的对应角,只要DAOC≌DBOD,那么就可以推出∠A=∠B,这样问题便迎刃而解了,同学们自己分析一下DAOC和DBOD全等条件够吗?证明:在DAOC和DBOD中∴DAOC≌DBOD(边角边)∴∠A=∠B(全等三角形的对应角相等)∵OA=OB(已知)OC=OD(已知)∴AD=BC(等式性质)在DADE和DBCE中∴DADE≌DBCE(角角边)∴AE=BE(全等三角形对应边相等)同学们自己动手试一试,可不可通过证明∠ADE=∠BCE来证明DADE≌DBCE呢?例4分析:从要证明的结论

7、AB=AD+BC上看,显然是两条线段的和与另外一条线段相等,可以考虑,能否在长的AB边上截一段等于AD(或BC),利用角平分线的条件证全等。证明(一):在AB上截AF=AD,连结EF在DADE和DAFE中∴DADE≌DAFE∴∠D=∠AFE(全等三角形对应角相等)∵AD∥BC(已知)∴∠D+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)又∵∠D=∠AFE(已证)∴∠BFE=∠C(等角的补角相等)在DBFE和DBCE中∴DBFE≌DBCE(角角边)∴BF=BC∴AB=AD+BC证明(二):延长AE、BC交于点F

8、。∵AE、BE分别是∠DAB和∠CBA的平分线。又∵AD∥BC∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°(两直线平等,同旁内角互补)∴∠2+∠3=90°∴∠AEB=90°∴∠BEF=90°在DABE和DFBE中∴DABE≌DFBE(角边角)∴AB=BFAE=EF在DAED和DFEC中∴DAED≌DFEC∴AD=FC∴AB=AD+BC(等量代换)例5分析:从上面例题,可以看出,有时为了证明某两条线段和等于另一条线段,可以考虑“截长补短”

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