三角函数向量复数

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1、三角函数　向量　复数齐民友(武汉大学数学与统计学院　430072)1　三角函数新课标中有关三角函数的内容分在数学4(两个项目:三角函数,三角恒等变换)和数学5(解三角形)中,共给了32个学时.其起点是初中已学过的锐角三角函数,讲法上强调了利用向量方法,发挥单位圆的作用,而且强调要淡化三角恒等变换的技巧性内容.这些都是很好的,但我以为如果突出三角函数的最本质内容,不但用不了这么多时间,而且更有利于学生现在和以后的学习.这个最本质的内容就是三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现.但是为了讲清

2、楚它,教学次序要调整一下:先讲平面向量(包括余弦定理,这种讲法的数学上的根据,我已在“前文”:“中学数学教学中的向量”(以下引用此文处较多,均简称“前文”)中作了详细讨论.匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是重大问题,三角学源自天文学,因为天体运动的轨道在人类认识的早期就是圆,天体则是球,天体的运行必是匀速旋转.这些命题被亚里斯多德当成了形而上学的根本原则,却是有人类认识的经验基础的.由此,首先要回答什么是角.初中水平的几何和三角学里讲的角是两条边“夹”出来的.因此无所谓始边终边,角的大小也是非负

3、的,其范围在0≤θ≤π,因此有锐角钝角之分.比π更大的角有时称为“优角”,比0更小的角就谈不上了.到了高中,第一个最重要的概念是:角是“转”出来的:具有固定起点的平面有向线段(即平面向量,向量起点如前文所述,一定在原点.以下我们时常混用有向线段与向量二词,应该不会有困难,)绕此起点(原点)在此平面内旋转就得到一个角.有始边,终边之分,顺时针方向转的称为负角,逆时针方向转的称为正角.所以刻划一个平面向量a,先要给定一个平面向量(例如i)作为参照(即始边),然后,让这个参照向量绕原点在此平面内旋转直到

4、与a“重合”(其实只需部分重合,因为i与a不一定同长),记旋转角为θ,再令a之长为r=

5、a

6、,它对角的性质无影响,所以我们以后总设r=1,即只讨论单位向量旋转所成的角.这个向量起点是(0,0),终点是,于是我们就说角就是单位圆上的点在其圆周上旋转所成的.这种角习惯上称为任意角.学生们时常以为任意角就是可取任意值的角.这些当然是对的,但又不止于此,还有以上的丰富内容,主要是有方向.既然如此,要研究匀速旋转,一方面可以研究角θ的变化,例如设角速度为ω,则有.是角的初始位置.这一点不仅有数学意义,更重要

7、的是有物理意义.课标上要求重视三角学与其它学科的联系与结合是非常重要的.而且依我之见,最重要的是它与振动和波动的联系,因为这可以说是几乎全部高科技的基础(或再加上“之一”二字,以免有绝对化之嫌?)而其出发点就在于此.但这又是当前数学教学(不只是中学)的薄弱环节.这一点以下再说.我们下面常取=0,这纯粹是为了数学上的方便.研究匀速旋转最重要的是研究的变化,即是研究x和y作为θ的函数.于是我们给出定义当然如果不是单位向量，则令我们会越来越多地看到,最好是不把正弦余弦看作两个函数,它们是密切相关的.所以

8、最好是把二者合起来看成一个向量值函数这个概念虽然不难,但是中学生能不能接受,我没有把握.至少,好一点的学生是可以的,而一旦接受了,会有很大方便.前文中我建议把这一部分(但一段暂时不讲)放在向量一章里讲.一方面,可以对向量的方向有一个比较可操作的刻画方法,即用辐角θ刻画.这种刻画方法即使在中学阶段也十分重要.利用这种把正余弦定义为角的终边的坐标的方法,我们突破了初中讲,时θ限于锐角的限制,说明这已是一个推广,而为下面更进一步的展开作一铺垫.这样定义正余弦更直接地是为介绍余弦定理作准备.对余弦定理则要

9、从如何计算向量或有向线段之长入手,看出它是匀股定理的推广,而不是把它简单地看成解三角形的工具.解三角形只是余弦定理一个小小的应用:屠龙宝刀也可以用来杀鸡!以下就可以进入三角函数理论本身了.但在这以前请读者注意,我们多次强调了现在我们讲的是平面向量.因为三维空间的旋转是一个非常困难的问题,对中学生是不宜去讲的.但是从左图可以看到:如果把正方形Ⅰ先绕z轴转得Ⅱ,再绕x轴转得Ⅲ.但是若首先绕x轴转得Ⅱ,再绕z轴得到的Ⅲ(右)与前一个Ⅲ不同.学生们自己用一本书在桌子边上实验一下即知.这说明三维空间中旋转的

10、乘法(连续施行两次旋转称为它们的乘积)是不服从交换律的.大概多数中学老师会告诉学生有不可交换的乘法这回事.给一两个例子即可使学生看到这一点,不必等到系列3的选修课对称与群再讲了.类似的例子在中学数学里多的是.课标也把形成一定的数学视野⋯⋯作为高中阶段学习数学的总目标的一部分.不能一提到一个问题就一定要开一门课,列一个章节,而可以随时注意提醒一些重要概念,“随风潜入夜,润物细无声”可能是更易收效的.整个三角函数理论,其实可以归结为4点:(1)沙尔定理.设角的始边为,终边为,如果再以为