直线与平面平面与平面垂直的性质

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1、直线与平面平面与平面垂直的性质思考:1.已知直线和平面,如果,那么的位置关系如何?2.设,且那么直线AB与平面的位置关系如何?3.设平面垂直平面,点P在平面内,过点P作平面的垂线,直线与平面具有什么位置关系?线面、面面垂直的性质定理1．线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行(线面垂直→线线平行)．2．面面垂直性质定理①：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号语言表示为：若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β(面面垂直→线面垂直)．3．面面垂直性质定理②：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线

2、必在第一个平面内．直线与平面垂直的性质定理的简单应用例1：如图1，在四面体P－ABC中，若PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB.图1思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义得出线线垂直．证明：过P作PH⊥平面ABC，垂足为H，连接AH、BH和CH.∵PA⊥BC,PH⊥BC，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH.又AH⊂平面PAH，∴BC⊥AH.同理AC⊥BH，即H为△ABC的垂心，∴AB⊥CH.∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面PCH.∵PC⊂平面PCH，∴PC⊥AB.点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用．

3、1－1.已知a、b是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a⊥α，b⊥β，则下列命题中不正确的是()BA．若a与b相交，则α与β相交B．若α与β相交，则a与b相交C．若a∥b，则α∥βD．若α⊥β，则a⊥b解析：α与β相交，a与b可能是异面直线．1－2.α、β是两个不同的平面，m、n是α、β之外的两条不同的直线，给出以下四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题___________.①③④→②解析：答案不唯一，如：②③④→①也正确．图2证明：作AH⊥SB于H.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AH

4、⊥平面SBC.∴AH⊥BC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又∵AH∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.面面垂直→线面垂直．平面与平面垂直的性质定理的简单应用例2：如图2，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.2－1.如图3，四棱锥V－ABCD的底面为矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，且VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.图3证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB.又∵面VBA⊥面ABCD，面VBA∩面ABCD＝AB，∴BC⊥面VAB.∴BC⊥VA.∵VB⊥面VAD，∴VB⊥VA.∵VB∩BC＝B，

5、∴VA⊥面VBC.又∵VA⊂面VAC，∴面VBC⊥面VAC.面面垂直的综合应用例3：如图4，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，AE⊥SB于E点，过E作EF⊥SC于F点．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.图4证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.又AE⊂平面SBC，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，∴DC⊥

6、平面SAD.又AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG，且SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.3－1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，平面PDC与平面ABCD成45°角，M、N分别为AB、PC的中点．求证：平面MND⊥平面PDC.图5证明：如图5，设E为PD中点，连接AE、EN，∵M、N分别为AB、PC中点，∴EN∥DC∥AB，∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE.∴DC⊥AE，DC⊥PD，∴∠PDA是二面角P－DC－A的平面角．∵PDA＝45°，又PA⊥AD，∴∠APD＝45°，△PAD是等腰直

7、角三角形．∵E为PD的中点，∴AE⊥PD.又∵DC⊥AE，∴AE⊥平面PDC.又MN∥AE，∴MN⊥平面PDC.∴平面MND⊥平面PDC.∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，∴PA⊥DC，PA⊥AD.又∵DC⊥AD，∴DC⊥平面PAD，而AE⊂平面PAD.例4：证明：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．证法一：如图5，在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，再作PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β.∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB.∵α与β相交，∴PA与PB相交．又PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ.图5图6证法