线性系统的可控性与可观测性

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1、第二章线性系统的可控性与可观测性可控性可观测性线性定常连续系统的可控性判据输出可控性线性定常连续系统的可观测性判据线性离散系统的可控性和可观测性可控性、可观测性与传递函数(矩阵)的关系(*)线性时变系统的可控性和可观测性（*）经典控制理论中用传递函数描述系统输入输出特性，输出量即为被控量，只要系统稳定，输出量便可以受控，且输出量总是可观测得，故不需提出可控及可观测概念。现代控制理论用状态空间表达式来描述系统，揭示系统内部的变化规律，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就存在系统内部的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映

2、的问题，这就是可控性和可观测性问题。可控性：分析输入u(t)对状态x(t)的控制能力。可观测性：分析输出y(t)对状态x(t)的反映能力。可控性、可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出的，是用状态空间描述系统而引伸出来的新概念。可控性、可观测性是研究线性系统控制问题必不可少的重要概念，而且在许多最优控制、最优估计和自适应控制问题中，也常用到这一概念。引言可控性、可观测性的物理概念例已知某个系统的动态方程如下将其分别表示为标量方程组和模拟结构图形式，有由此可见，状态变量x1、x2都通过选择控制量u由始点达到原点，因而系统完全可控的。但输

3、出y只能反映状态变量x2，而与x1既无直接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。例右图所示桥式电路，选取电感电流iL和电容端电压uC作为状态变量，u为网络输入，输出量y=uc。系统中只要有一个状态不可控或不可观测，便称该系统不完全可控或不完全可观测，简称该系统不可控或不可观。①当电桥处于非平衡状态，即R1R4≠R2R3时，u将控制两个状态变量的变化，且可通过选择u，使任意初态转移到任意终态，因而是可控的。由于量测到输出量即uc，且uc与iL有确定关系，即uc含有iL的信息，因而是可观测的。图电桥电路②当电桥处于平衡状态，即R1R4＝R2R

4、3时，u只能控制iL的变化，不能控制uc的变化，这时uc＝0，从而也不能由输出测量结果确定iL，因而uc不可控，iL不可观测。例下图所示两个网络，当R1＝R2，C1＝C2时，且初始状态x1(t0)=x2(t0)，u只能使x1(t)≡x2(t)，而不能将x1(t)与x2(t)分别转移到不同的数值，这表明此电路不完全可控，简称称为电路不可控。由于y=x1=x2，故可观测。网络（a）网络（b）2.1可控性考虑线性时变系统的状态方程其中x为n维状态向量；u为p维输入向量；Tt为时间定义区间；A（t）和B（t）分别为n×n和n×p矩阵。现对状态可控和不可

5、控分别定义如下：状态可控对于式(2－100)所示线性时变系统，如果对取定初始时刻t0∈Tt的一个非零初始状态x（t0）＝x0，存在一个时刻t1∈Tt，t1>t0，和一个无约束的容许控制u(t)，t∈T[t0,t1]，使状态由x（t0）＝x0转移到t1时的x（t1）＝0，则称x0是在t0时刻可控的系统可控对于式(2－100)所示线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在t0(t0∈Tt)时刻可控的，则称系统在时刻t0是完全可控的,简称系统在时刻t0可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统一致可控。系统不完全可控对于式(2－100)所示线性

6、时变系统，取定初始时刻t0∈Tt，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全可控的，也称为系统不可控。补充说明（对u(t)的限制）在上述定义中只要求系统在找到的控制u(t)的作用下，使t0时刻的非零状态x0在Tt上的一段有限时间内转移到状态空间的坐标原点，而对于状态转移轨迹则未加任何限制和规定。所以，可控性是表征系统状态运动的一个定性特性。定义中随控制u(t)的每个分量的幅值并未加以限制，可为任意大的要求值。但u(t)必须是容许控制，即u(t)的每个分量均为时间区间Tt上平方可积，即此外，对于线性时变系

7、统，其可控性与初始时刻t0的选取有关，是相对于Tt中的一个取定时刻t0来定义的。而对于线性定常系统，其可控性与初始时刻t0的选取无关。状态可达与系统可达对于式(2－100)所示线性时变系统，若存在能将状态x（t0）＝0转移到x（tf）＝xf的控制作用，则称状态xf是t0时刻可达的。若xf对所有时刻都是可达的，则称状态xf为完全可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可达的，则称该系统是t0时刻状态完全可达的，简称该系统是t0时刻可达的。注：线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的；离散系统、时变系统，严格地说两者是不等价的，有可能系统

8、不完全可控却完全可达。2.2可观测性可观测性是表征状态可有输出完全反映的性能，所以应同时考虑系统状态方程和输出方程其中A（t），B（t），C（t）和D