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《问题7.5利用空间向量解决开放性问题-2017届高三数学跨越一本线含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2017届高三数学跨越一木线精品问题五：利用空间向量解决开放性问题开放题是相对与那种完全具备条件和固定答案的封闭题而言的，立体儿何开放性试题与一般的开放性试题同样具备以下儿个特征：不确定性、探究性、非完备性、发散性、冇层次性、发展性和创新性等，是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备.要求解答者自己去探索，结合已冇条件，进行观察、分析、比较和概括.它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求.它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全
2、过程.空间直用坐标系的建立，把空间儿何体数字化了，其结构特征可以直接利用数字化的“空间坐标”进行具体的刻画，所以可以把空间几何体屮的问题转化为“数”、“式”、“方程”与“函数”的相关问题，空间儿何体屮的开放性问题也就转化为代数屮的相关问题进行解决.一、条件追溯型条件追溯型的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正谋需判断.解决这类问题的基木策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程屮，常常会犯的一个错谋是不考虑推理过程的町逆与否，误将必要条件当作充分条件
3、，应引起注意.An【例1】四棱锥P-ABCD的底血是矩形，侧面PAD是正三旳形，且侧IMPAD丄底面ABCD,当——的AB值等于多少时，能使PB丄AC?并给出证明.【分析】首先分析几何体的结构特征，并根据其几何特征建立空间直角坐标系，利用相关参数设出对应点的坐标，把己知的两直线垂直转化为向量垂直逬而建立关于参数的方程求解.【解析】如图，取Q的中点F,连结由APAD是正三角形可得尸F丄的-又侧面PAD丄底面ABCD,所如F丄底面ABCD故以直线AD为蚌由，以过F与AD垂直的直线为x轴，直线FP为吻由建立空间直角坐标系.设AD=2,pf=7s,A
4、B=x,A点坐标为(0=—1=0),C点坐标为(x:l:0),P点坐标(0:0：73),B点坐标为(决一1,0),PB=(x,—1,—a/3),AC=(x,2,0)•・・PB丄AC・・・PB・AC=0即x2-2=0X=V2，•竺wAB【点评】条件追溯型问题町以利川根据空间向量的坐标运算，利川已知的结论构建关于条件参数的方程，通过求解方程确定対应的条件即可.条件探索型题目，-其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这类题要求变换思维方向，有利于培养逆向思维能力.【小试牛刀】【2
5、017安徽淮南二中12刀刀考】如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA丄平面ABCDE,AB//CD,AC//ED,AE//BC,ZABC=45：AB=2^2,BC=2AE=4,△PAB是等腰三角形.(1)求证：平面PCD丄平面PAC；(2)求侧棱PB上是否存在点Q,使得C0与平面PCD所成角大小为30°,若存在，求出0点位置，若不存在，说明理由.【答案】(1)详见解析(2)Q点为顶点B时满足题意【解析】(I)证明：因为ZABO45。，AB二2血，BC二4,所以在AABC中，市余弦定理得：AC2=(2V2)2+42-2x2V2x4cos45°=8
6、,解得AC=2a/2,所以AB2+AC2=8+8=16=BC2,即AB丄AC,乂PA丄平面ABCDE,所以PA丄AB,乂PACAC二A,所以AB丄平面PAC,乂AB〃CD,所以CD丄平血PAC,乂因为CDu平面PCD,所以平面PCD丄平面PAC(2)由(I)知AB,AC,AP两两互相垂直，分别以AB,AC,AP为x,y,z轴建立如图所示的空间直角朋标系，由APAB为等腰直角三角形，所以PA二AB二2逅，fuAC二2伍，贝ijA(O,0,0),5(2^2，0，0),C(0,2^,0),P(0,0,2^2)因为AC〃ED,CD1AC,所以四边形A
7、CDE是肓介梯形.因为AE二2,ZABC二45°,AE〃BC,所以ZBAE=135°,ZCAE二45°,故CD二AE・sin45°二站孚乜，所以D（一伍，乩，°）.因此CP=(O,一2应，2^2K疋二（一血，0,0），设4（x,y,z）是平血PCD的-•个法向量，则1•可二0,1•忑二O解得x=0,y=z.取y二1,得匸（0,1,1），假设P0=APB(O
8、无结论或结论的正确与否盂要确定.解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论.在探索过程中常对先从特殊悄形入手，通过观察、分析、归纳、判断來作一祈猜测，得出结论，
