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1、第三章图像变换3.1概述3.2傅立叶变换和性质3.3其他可分离变换3.4霍特林变换3.1概述为了有效和快速地对图像进行处理和分析常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间以得到所需要的效果。3.1概述一、图像变换的引入1.方法：对图像信息进行变换，使能量保持但重新分配。2.目的：有利于加工、处理（滤除不必要信息(如噪声)，加强/提取感兴趣的部分或特征）。3.1概述二、方法分类可分离、正交变换:2D-DFT,2D-DCT,2D
2、-DHT，2D-DWT。3.1概述三、用途1．提取图像特征（如）：（1）直流分量；（2）目标物边缘：F（u,v）高频分量。2．图像压缩：正交变换能量集中，对集中（小）部分进行编码。3．图像增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘3.2傅立叶变换和性质f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：其反变换为：1、一维傅立叶变换3.2傅立叶变换和性质幅度谱：相位谱：其中:F(u)=R(u)+jI(u)一维离散傅立叶变换(DFT)一维离散傅立叶变换公式为：逆变换为：二维傅立叶变换二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而
3、来：逆变换：二维傅立叶变换其中:F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)幅度谱：相位谱：二维离散傅立叶变换对于二维傅立叶变换，其离散形式为：逆变换为：幅谱(频谱)、相谱：频率域幅值与频率空间域灰度傅立叶变换举例二维离散傅立叶变换的性质1.线性性质：2.比例性质：3.可分离性：可分离性二维离散傅立叶变换DFT可分离性的基本思想是：二维DFT可分离为两次一维DFT应用：二维快速傅立叶算法FFT，是通过计算两次一维FFT实现的可分离性傅立变换的可分离性质先进行列变换，然后进行行变换。可分离性可分离性4.空间位移：5
4、.频率位移：图像中心化：当u0=v0=N/2时，二维离散傅立叶变换的性质频率位移即将f（x,y）之图像频谱（图像能量集中在低频的4个角，见下图(a)）从原点（0，0）移到中心（N/2,N/2），得到一个完整的频谱，称为频谱中心化(见下图(b))6.周期性：F(u,v)=F(u+aN,v+bN),f(x,y)=f(x+aN,y+bN)7.共轭对称性：8.旋转不变性：9.平均值：10.卷积定理：f(x,y)*h(x,y)<=>F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)<=>F(u,v)*H(u,v)11.帕塞
5、瓦定理（能量定理）：若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，则有：频率位移性质当图像在频率域时移动时需要用到频率位移性质：图像中心化把图像进行傅立叶变换后，往往要把中心移到u0=v0=N/2的位置上平均值平均值定义：由傅立叶变换定义：因此，f(x,y)的平均值与傅立叶变换系数的关系为：2D-FFT2D-DFT可由连续2次的1D-DFT实现,对1D-DFT研究其快速算法即1D-FFT就可得到2D-FFT.3.3其他可分离变换1、可分离变换：1-D可分离变换的一般形式可用下式表示：其中T(u)为f(x)的变
6、换，g(x,u)称为正向变换核。同理，反变换可表示为：其中h(x,u)称为反向变换核。3.3其他可分离变换对2-D的情况，正变换和反变换可分别表示为：同样，g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正向变换核和反向变换核。3.3其他可分离变换如果下式成立：则称变换核是可分离的。进一步如果g1与g2的函数形式一样，则称变换核是对称的。此时有：3.3其他可分离变换具有可分离变换核的2-D变换都可分成2个步骤计算，每个步骤用1个1-D变换。首先沿f(x,y)的每1列进行1-D变换得到：然后沿T(x,v)的每1
7、行进行1-D变换得到：3.3其他可分离变换2、沃尔什变换沃尔什（Walsh）变换是一种可分离变换。当时，变换核为：3.3其他可分离变换离散沃尔什变换W(u)为：是z的二进制表达中的第k位。例如n=3，则对z=6（1102），有b0(z)=0，b1(z)=1，b2(z)=1。3.3其他可分离变换例沃尔什变换核的值下表给出N=8时1-D的沃尔什变换核的值ux012345670++++++++1++++––––2++––++––3++––––++4+–+–+–+–5+–+––+–+6+––++––+7+––+–++–
8、3.3其他可分离变换由沃尔什变换核组成的矩阵是一个对称矩阵并且其行和列正交（即各行向量与各列向量的内积为0，互相独立）。这些性质表明反变换核与正变换核只差1个常数1/N，即：所以离散沃尔什反变换为：3.3其他可分离变换2-D的沃尔什正变换核和反变换核由以下2式给出：这2个核完全相同，所以下面2式给出的2-D沃尔什正变换和反变换也具有相同形式：3.3其他可分离变换沃尔什变换可用类似于FF
