线性代数命题集锦

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1、线性代数命题集锦（浙江大学姜豪）本集锦是对[1]中定理及推论的完善与补充。第一章行列式命题1.2.1任一级排列都可经有限次对换变成级标准排列。（反之，级标准排列可经有限次对换变成。）命题1.2.2任一级排列与级标准排列可经有限次对换互变，且对换个数与有相同的奇偶性。命题1.2.3任两个级排列与都可经有限次对换互变。若它们的奇偶性相同，则对换个数必为偶数；若它们的奇偶性不同，则对换个数必为奇数。（同性偶变，异性奇变）命题1.3.1如两个整数的奇偶性都改变，则其和的奇偶性不变。命题1.3.2n阶行列式det的展开式中项的符号是命题1

2、.3.3命题1.3.4其中固定。命题1.3.520其中固定。命题1.4.1只用形式的运算就可以把n阶行列式化为上（下）三角行列式；只用形式的运算就可以把n阶行列式化为上（下）三角行列式。命题1.5.1设，，则有，，。推论1.5.1设（n阶行列式简写）。的第行元素的代数余子式为.将的第行用代替得行列式，则类似地有：若的第列元素的代数余子式为.将的第列用代替得行列式，则.命题1.5.2设,则，.命题1.5.3设.则有.20速降法计算行列式公式：，，，.第一章矩阵及其初等变换命题2.2.0（行列式乘法定理）设是阶行列式，则。推广：设都

3、是阶行列式，则。命题2.2.1同理有.命题2.3.1若，则有.命题2.4.1的行是的行的线性组合，组合系数是的行；的列是的列的线性组合，组合系数是的列。命题2.4.2(i)设，则可逆20当可逆时，(i)设，则可逆当可逆时，.定理2.5推论设是n阶矩阵，则可逆~.定理2.5推论设是n阶矩阵，则可逆可表成有限个初等矩阵的乘积。定理2.5推论4设是矩阵(i)必存在m阶可逆矩阵，和n阶可逆矩阵，使得(ii)必存在m阶可逆矩阵，和n阶可逆矩阵，使得.命题2.5.1设为可逆矩阵，则可对作有限次初等行变换将化为单位矩阵。引理2.6.1阶梯形矩

4、阵的秩等于其非零行的行数。引理2.6.2任一矩阵都可经过有限次初等行变换化为一个阶梯形矩阵。定理2.6推论设是n阶矩阵，则可逆.命题2.6.1命题2.6.220.命题2.6.3当，中矩阵分为个等价类；当，中矩阵分为个等价类。命题2.6.4设是矩阵，则存在使存在使.也即，有左逆列满秩；有右逆行满秩。证明：我们证：有左逆列满秩。即，存在使。：因为是矩阵，且，所以由教材P60定理2.3.由教材P65定理2.5的推论3存在阶可逆矩阵与阶可逆矩阵使①注意到②令，则是的左逆：。：设存在使。因为是矩阵，所以有①又由教材p100例6②但已知，于

5、是我们有③20所以，由①，②，③。同理可证：有右逆行满秩。常用分块求逆公式：可逆可逆，且可逆可逆，且设可逆，则有20第一章线性方程组与向量的线性相关性定理3.3推论1设，则线性无关；线性相关.定理3.3推论2设是n阶方阵，令，则线性无关；线性相关.命题3.3.1如果对矩阵只做初等行变换化为矩阵，则的列向量组与的列向量组有相同的线性关系。具体地说：设(i)线性无关线性无关。(ii).注：命题3.3.1可简单地表为：矩阵的初等行变换不改变列的线性关系。命题3.3.2矩阵的初等列变换不改变行的线性关系。命题3.3.3设线性无关，则能由

6、线性表示线性相关。命题3.3.4设能由线性表示，则表法唯一线性无关。命题3.3.5设有向量组，则线性相关可以被一个向量个数小于的向量组线性表示。命题3.3.6若向量组(I)可由向量组(II)线性表示，则秩(I)秩(II).命题3.3.7等价的向量组必等秩（等价必等秩）。20命题3.3.8设有向量组(I)与(II),已知秩(I)=秩(II)，则(I)与(II)等价(I)可由(II)线性表示或(II)可由(I)线性表示。证明：“”：由教材P91定义3.4得出。“”：设秩(I)=秩(II)=,设为(I)的极大无关组，设为(II)的极大

7、无关组。设(I)可由(II)线性表示，则可由线性表示可由线性表示，于是由教材P97定理3.6线性相关①而线性无关②由①，②和教材P96定理3.5（或用命题3.3.3）可由线性表示，，所以可由线性表示，故与等价，所以(I)与(II)等价。一箭三雕法命题3.3.9无关组的延长组无关（相关组的缩短组相关）。证明：设有向量组I：向量组II：则向量组II是向量组I的延长组。设线性无关①令②令③20由①，②和教材P94定理3.3④但是的子矩阵，所以⑤而是矩阵⑥由⑤，⑥⑦由⑦和教材P94定理3.3线性无关。命题3.3.10设线性无关，且则(i

8、)与的列向量组有相同的线性关系；(ii)线性无关的列向量组线性无关.证明：(i)设，则(ii)由(i)推出。命题3.3.11设是矩阵，则.证明：设，。由和教材P99定理3.8秩，同理，由。20设是的极大无关组，设是的极大无关组。则可由线性表示，所以由命题3.3.