《正弦定理》学案3（苏教版必修5）

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1、正弦定理学习目标知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题.过程与方法经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力及归纳、猜想、论证能力.情感、态度与价值观1.通过实际问题的解决，培养学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣，让学生感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活.2.让学生在学习中感受数学的对称美与和谐美.教学重点、难点本节课的重点是正弦定理的发现和证明过程，难点是正弦定理的推导和证明.教学方法与教学手段本节课师生互动探究，采用启发式和问题式教学方法，结合现代教育技术，师生共同合作完成正

2、眩定理的发现和证明，并能进行简单的运用.学习过程一、问题情境如图1,要在河岸两侧A,B两点间架一-座桥.由于环境因素不可直接测量A,B两点间的距离.站在与A同侧的河岸，可用的工具有皮尺、直尺和测角仪，你能间接测量出A,BI'可的距离吗？探索：图1(1)如果在与A同侧的沿岸公路上取一点C,能否供助测量工具在中求出A,B间的距离？(2)结合实际情况，在△ABC(如图2)中哪些量能直接测量？(3)在厶ABC中，由上面几个直接测量得出的量，能否求的长度？如图2,在厶ABC中，己知A=75°,C=60AC=100,求AB.分析：对于这个从实际问题中抽象出的数学问题，可以尝试将非直角

3、三角形转化为三角形來解决：解：如图3,过点A作AD丄BC,垂足为D.因为在RtAACD中，AD=ABsinB.所以ACsinC=ABsinB,即AB=ACsinCsin3在RtAABD中,AD=ABsinB.又因为B=180°-60o-75°=45o,100x—所以AB=—=50^6.Vf二、学生活动等式aACsinC=ABsinBv起着非常重要的作用，它就像一座桥梁，沟通了三角形中边与角的关系.如果将△ABC中，角A,B,C的对边分别记为仏b,c,那么该等式hr可以改写为bsinC=csinB,即一^=」一.sinBsinC如果舍弃本题中三角形边与角的特殊性，这个式子是否

4、对于任意的三角形都成立呢？bc捉岀猜想：对于任意的三角形都有——=^—.sinBsinC三、建构数学猜想需要严格证明才能成为定理.用分类讨论的思想，按照从易到难、从直观到抽象的认知规律，证明猜想，得出正弦定理.证明过程如下：bc证明：F若C为锐角，则AD=bsinC=csinB9所以=；sinBsinCbc2。若C为直角，则bsinC=b,csinB=b,所以——=；sinBsinCbc3°若C为钝角，则bsmC=bsinZACD=AD,csinB=AD,所以.sinBsinCbc综上，在厶ABC中，一^=-^成立.sinBsinC这样就证明了在任意一个△ABC中，将角A,

5、B,C的对边分别记为d,b,c，等式bc=—总是成立的.sinBsinC由于B,C是三角形的任意两角，b和c是它们的对边，由此可以得到一纟一=—?一，sinAsinBsinBsinC从而得到定理：CLhr在厶ABC中，a,b,c分别是A,B,C所对的边，则有——=——=——.sinAsinBsinC探索：对于任意一个三角形，每条边的边长与它所对角正弦值的比值相等，那么这个比值又会和三角形的哪个固有量有关呢？四、数学运用例在厶ABC中，若。=10,4=30°,C=45°,求b,c.分析：正弦定理是一个连等式，它相当于两个等式，每个等式中四个量，知道其中三个便可以求出另一个.根

6、据本题的条件，我们如何利用正弦定理中的等式？.r10x—解：因为=所以c=^—=—=10^2.sinAsinCsinci2因为A,B,C为三角形的三个内角，所以3=105°..a10x乔+血由正弦定理可知b=竺巴一=—=5(76+V2).sinAJ_2练习：已知A=30°,5=120°,&=12,求a,c・五、回顾小结运用正弦定理可以解决哪几类问题？