初中数学竞赛专题选讲图象法(含答案)

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1、体位置是:分析图象可知初中数学竞赛专题选讲(初三・21)图象法一、内容提要1.在讲(一元二次方程)中，根据根的判别式和根与系数的关系，介绍了存在实数根,有理数根，整数根的充分必要条件.2.要讨论两个实数根的符号，则可以建立不等式组方程ax2+bx+c=0中，①有两个实数根的充分必要条件是“0A>0bc②有两个正实数根的充要条件是齐->0(aHO包含在一〉0Z中)aa->0Id③有一正一负实数根的充要条件是£<0(a^0,△>()均已包含在内)a£

2、小区间内讨论实数根，则常利用图象來建立不等式组.4.一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解，也可借助图象.二、例题例1..已知：方程7x2-(k+⑶x+k2—k—2=0的两个实数根x】,X2满足：00,记作f(())>()；当x=2时，y>0,当x=l时,y<0,f(l)<0；k2-k-2>0；得不等式组(一伙+1

3、3)+/-k-2<0；-2伙+13)+疋一—2〉0.■k<-｛或k>2；解这个不等式组得2<£<4；k<0或k>3.・・・原不等式组解集是一2vkv—l；或3vkv4.答：k的取值范围是一2vkv—l；或3vkv4时.本题由三个点的横处标0,1,2和它所对应的纵处标范围建立不等式组.例2.m収什么值时，方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1?解：根据抛物线y=x2+(m+2)x+3的开口向上；它在纵轴的交点为(0,3)；与横轴的两个交点都在点(1,0)右边.得图彖的略图如下(左、右两图)：b4-cic—b~据

4、图象分析当x=l时，y>0；顶点横坐标一匕>1；纵坐标W0.1+加+2+3〉（）,得不等式组彳m+2解这个不等式组得彳m>6，m<一4,tnn—2+2S—2—2V3./.原不等式组解集是一6vmW—2—2V3答：当一6vmW—2—2徭时，方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1.本题只有一个特殊点，故用了抛物线的顶点横、纵处标.例3口知：方程(l-m2)x2+2mx-l=0的两个实数根都在0到1之间(不包括0和1).求：m的取值范围.解：函数y=(l—m2)x2+2mx—1的图象可由:①它在纵轴上的截距是一1;

5、②与横轴的两个交点在0到1Z间.得知开口是向下的，画出略图如下：：从图彖分析：a<0；f(l)<0；h()<-——<1.2a得不等式组1-m2<0,<1-7772+2/77-1<0,2m<1.m<一1或加>Lm<0或加>2,解这个不等式组得Jm>0,1-V5..1+V5m<或加>22・••不等式组解集是m>2.本题因抛物线的顶点横朋标，上下都有界，故不用顶点的纵处标.例4.已知：方程x2+2px+6=0的两个实数根，-•根大于1,另一•根小于1•求：p的值.解：根据抛物线y=x?+2px+6的开口向上，它与横轴的两个

6、交点的大致位置，画出略图如下：根据图象可知：f(l)v0；_4qc—b?顶点纵朋标<0.4al+2/?+6—<0>得不等式组4（6-〃）-4，n——————<0解这个不等式组,p<-7,p<一3或卩>2.4・•・不等式组解集是p<-7.答(略)木题因顶点横坐标无法定，故只有两个不等式.其实只要f(l)<0就可以了.关键是建立充分必要条件的不等式组.注意：(1)若方程可求得有理数根吋，则可以直接建立不等式组.如：例3可得两个根为一^和一!一；m+1m-1(2)若符合基木对称式，则可用韦达定理来解.如：例4可用X[—1>

7、0,x2—1<0建立不等式(Xj—l)Gx2—1)<0.左边去括号后，再转化为关于P的不等式.例5.a取什么值时，方程制—2卜d+1解：画出函数y二卜

8、一2卜1和y二a的图象,它们的交点就是方程的解.・・•肓线y=a平行于横轴.・・・①当a<-l吋，直线y=a与y=卜

9、-2-1没有交点，即方程无解；②当a=l时，直线y=l与.y=x-2・l恰好有3个公共点,即方程卜2

10、=q+1有3个解①.当b=—1或a>l时，y=a与y=x-2・1都有2个公共点，就是方程有2个解.例6.求代数式lx+ll+lx-ll+lx+21在一

11、2