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《小学五年级下册数学奥数知识点总结讲解第7课《从不定方程整数解》》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、笫七讲从不定方程1/n二1/x+1/y的整数解谈起对于形如丄=丄+丄的方程，寻找整数x、y使之满足方程，称为求不定方nxy求不定方程的整数解•这里n是取定的一个自然数•对于方程CD显见X二尸12是一个整数解•还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看岀一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。由1=1+丄，两边减去丄，得:6xyx11_16^=?；通分：罕1=丄；因此$=厶，这里-6大于0•为了使右端的分数形6xyx-6式更简明，我们不妨把「6看成一个整体，即令t二「6,那么口+6.因此y=6斗上t[=罕£+6,由于淀整数，上式右边也是整数，所
2、以斗•也必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。由于是求不定方程t=的整数解，这样，原先““漫无边际”的找两oxy个未知数X、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了.一个完全平方数的因子必然是奇数个，如6；有因子6、1和36,2和3和12,4和9.6称为自补的因子•后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记为：t：二6,t:=1,tJ二36；t：二2,t21+6+26+18=18；J二3,tz}=12；t尸4,f2r2tj=9也即—屮；…，—=t/,t]上4+6,卜士的所有解表示成卜匕+希,这里t和t，是6；二36的互补因子（当t=t，
3、=6时自补因子也包括在內），所以]=丄+丄的全部整数解为:6xyt1=l,t；=36,111—=—+・■■「・■6742'11+6+16+36t2=2,t；=18,111=+■61015J11+6+46+9由于7地位对等,2冷扌誌的解电誌,的情况我们都看成一种了。以上情况推广到一般情况：求不定方程-=丄+丄（2）nxy的整数解，只要找出边的全部成组互补因子t和t‘,则nn+tn+t‘就可得到全部解。例如，求不定方程：111一—_12xy（即n=12）的整数解，首先分解122=（22*3）2=24*32,它的因子根据分解式的
4、结构特点可以排成一个表。2°21222324:厂1248163136122448g18:死72144按照互补或自补因子配对有：（1,144）,（2,72）,（3,48）,（4,36）,（6,24）,（8,18）,（16,9）,（12,12）。所唏V冷共有谿解「22的因子个数+1,2=811—+1315611111484?1560511—+—;164811111111—+—•—+—•—+—•—+—1836，2030"212424以上是讨论丄■丄+丄的全部解自然会想到如果把上式的丄再分解成两彳nxyx“单位分数"〔分子为1分母为整数)的和，那么我们相当于求：11
5、11—=——+——+—mxyz的整数解，例如求解1111——=——+—+—,6xyz可以利用已经解过的2=丄+丄的5种解，再把其中丄分解成丄+丄,例如1=6xyyyz61—+1212111一+—+—12742•FT总之，求解丄=丄+丄+丄也是有路可循的了•特别，如n是质数，门=p,nxyz丄=二+二=2+亠”•除了P=2以外，p+l是合数再分裂丄，例如p2p2pp+1p+pp+1,利用(p+1)2有因子1和(p+1)2,因此斗亠+•;•方,P+1P+2(p+1)+(p+1)■丄=丄+_1_+1(4)例如，卜卜…pp+2p(p+l)(p+l)(p+2)‘111
6、11+=—+——+——,3x44x5512201111111—=_++=—+——+——75x66x7730421111111—=—++=—+—+—797x88x995672在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。分成两部分，唯一方式:分成三部分，只有3种方式：明显的有1冷冷+£先有1=*+£,再借用*=士+占=±+具这两种分解形式（因为，有互补因子（1,4）,（2,2）•可有1丄丄+H144236并且可断言只有这三种形式•为证明这一论断，先介绍“推广的抽屉原理”〔称之为平均值原理更确切）:一个〔正）数，分放于几个抽屉中，必有一个抽屉
7、内存放的数大于或等于平均值.〔注意，这里的数不局限于整数）1分拆为三个单位分数之和，必有一部分而》+的单位分数只有只有丄和］•不妨设贝=或丄=4,问题转化成:23xyzx2x31=1+丄+丄或1=]+2yz311—+—。yz对于前一种情况，1-2=2=丄+丄，再用推广的抽屉原理，丄、丄中，不22yzyz妨设—^―，必有1个•丄只有扌和!3两种情况（显然丄#£）•对于yz4y4y2y=?和:，分别必有丄=£和；•归类成1=£+；+•和1=舟+扌+扌的情况。2>4z64236244对于后一种情1-1=1+1,同样用推广的抽屉原理，有又2yzy2-<-=i,所以4
8、=4由1■丄+丄得也归类成三种形式之中.yx3333
