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1、《函数应用》全章复习与巩固编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点.2.进一步理解畅数是刻画H常牛活规律的重要模型，在用畅数的过程小理解函数的概念、性质和函数思想方法.3.在用数学解决问题的实践中，感受数学应用的层次，体验数学建模的过程和步骤，了解数学建模的意义，发展应用数学的意识.【知识网络】【要点梳理】要点一：函数、方程的有关问题1.一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O)的根与二次函数y=ax2+bx+c(aHO)的图像有如下关系：判别式A=b^-4acA>0A=0A<0一•次函数2y
2、=ax+bx+c的图像y^x2y丿—*X一元二次方程ax^+bx+c=O的根有两个不相等的实数根X],x2有两个相等实数根xrx2没有实数根二次函数2y=ax+bx+c的图像与X轴的交点(X[,0),(x2,0)(xl50)没冇父点要点诠释：(1)方程的根少函数的零点：方程沧)=0有实数根O函数的图彖与X轴有交点o函数y=/U)有零点.(2)方程的根与函数的零点：方程.心)=()有实数根的个数o函数)，=/(兀)的图彖与兀轴有交点的个数o函数y=/(x)的零点的个数.2.函数零点的判定(1)利用函数零点存在性的判定定理如果两数y=/(x)在一个区间"
3、，列上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即/(d)/(b)v0,则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0G(a,b)，使f(xo)=O,这个兀o也就是方程/(%)=0的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有儿个.若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定.②若函数/⑴在区间［a,列上有/(d)・/@)〉0,/⑴在(a,b)内也可能有零点，例如/⑴在［-1,1］上,/(x)=x2-2x-3在区间［一2,4］上就是这样的.故/(兀)在仏b)内有零点，不一定有/(a)-/(&)<0.③若
4、函数/(兀)在区间［⑦列上的图象不是连续不断的Illi线，/(兀)在(a,b)内也可能是有零点，例如函数/(x)=丄+1在［-2,2］上就是这样的.(2)利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程/(x)=0,方程/(%)=0无实根则函数无零点，方程/(%)=0有实根则两数有零点.(3)利用数形结仑法函数F(兀)=/(x)-g(x)的零点就是方程/(x)=g(x)的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象交点的横坐标.3.用二分法求函数零点的一般步骤：己知函数y=f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x。的近似值x,使它满足给定
5、的精确度.第一步:在D内取一个闭区间［%%］匸£>,使心)与/*(%)异号,即/仏)・/仇))<0,零点位于区间［绳,％］中.第二步：取区间［兔,阳的中点，则此中点对应的坐标为xo=。0+*(%_。0)=+仏+心)・计算于(兀°)和fM>并判断：①如果/(XO)=O,则就是/(x)的零点，计算终止；②如果/(6(0)-/(%0)<0,则零点位于区间［。。，兀。］中，令Q］=do，b］=Xo；③如果y(ao)-/(xo)>O,则零点位于区间［兀0，®］中，令。］=兀0,4=%第三步：取区间同,勺］的屮点，则此屮点对应的坐标为xi=a+*（勺一。］）=
6、*（。1+勺）・计算/(西)和/他)，并判断:①如果/(x.)=0,则西就是/(X)的零点，计算终止：②如果(兀［)V°，则零点位于区间［d］,兀1］中，令。2=°］,优=兀
7、；③如果>0,则零点位于区间［西,也］中，令a2=x},b2=b{:继续实施上述步骤，宜到区间［①也］,函数的零点总位于区间［色也］上，当色和仇按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数)y/(%)的近似零点，计算终I匕这时函数y=/(x)的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：(1)第一步中要使:①区间长度尽量小;②/⑷、/(〃)的值比较容易计算且/@)/(f
8、t)<0・(2)根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的.对于求方程/(x)=g(兀)的根,可以构造函数F(兀)=f(x)-g(x),函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根.要点二：函数的实际应用求解函数应川题时一•般按以卜•儿步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型•这时，要注意两数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及
9、函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果
