高等数学例题讲解(提高篇)

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1、第1章函数的极限与连续例1．求下列极限：1）2）解：1）原式，而所以，2）原式令，当时，，所以，．从而，．例2．求，其中、是正整数．解：因为，令，当时，．例3．若，且存在，求。解：设，则，是时的无穷小量，由题应有：，，由函数极限的保号性，取，所以．例4．证明：半径为的圆面积证：做圆的内接正（）边形，如图1-13所示，记其面积为图1-13当边数取，，，对应的面积，，构成了一数列，当时，圆内接正边形的条边与圆周无限贴近，从而正边形的面积与圆面积无限接近，圆面积就是数列当时的极限，即例5．设，，，，其中．证明：存在，并

2、求其值．证：首先，所以是有界数列其次，由于时，有，所以，因而是单调数列，由单调有界数列必有极限可知，存在．设，则有，由于，所以，解得即第2章一元函数微分及其应用例1．求下列极限1）2）解：1）原式1）原式，而所以，．例2．设，求．解：，．例3．（相关变化率问题）一长方形两邻边之长分别为和，若边以的速度减小，边以的速度增大，求在，时，长方形的面积的变化速度和对角线的变化速度．解：设边长分别为、，面积为，对角线长为，它们都是时间的函数，都有关于时间的变化率，，，，彼此之间又相互关联．现已知其中变化率，，求和，这类问题

3、称为相关变化率问题．由题，，两边求变量的导数，，将各已知数据代入，得的变化速度由题，，两边求变量的导数，，将各已知数代入，得的变化速度即长方形的面积的变化速度为，对角线的变化速度为．例4．（函数的最大、最小值问题）设有一根长为的铁丝，将其分成两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形的面积为，正方形的面积为，证明：当之值最小时，．证：设圆的周长为，正方形的周长为，，；则；，令，得唯一驻点；，所以，是极小值点，因为是唯一极小值点，也是最小值点，此时，例5．讨论曲线与的交点个数．解：需求的解，（2）－（1）得：（3）即求方

4、程（3）的实根．设，问题转化为求函数在有几个零点．，令，得；因为当时，，可知在上单调增加，的图象与直线只有一个交点，可知是的唯一根，从而是的唯一驻点．当时，由于，；当时，由于，；所以，是的极小值点，在只有唯一的极小值点，是的最小值点，，又由于，．当，即时，曲线的最低点在轴上方，无零点，从而方程（1）无根，两曲线无交点；当，即时，曲线的最低点在轴上，有唯一零点．从而两曲线有一个交点；当，即时，曲线的最低点在轴下方，有两个零点，从而两曲线有两个交点，它们分别在、内．第3章一元函数的积分学例1．设的原函数为，且当时有，

5、若，且，试求．解：由于，代入有；又，所以从而，．例2．设在上可微，且满足条件．试证：存在使得证明：设，则（积分中值定理，），再由定理可知，至少存在一点，使得，即．例3．求函数的最大值和最小值．解：由于为偶函数，所以只需求其在上的最值．因，令得驻点，；当时，；当时，，所以为函数的极大值，也是函数的最大值．又，，所以．例4．过抛物线上一点做切线，问为何值时，所做切线与抛物线所围图形面积最小？解：抛物线上过点的切线方程为：，设该切线与抛物线的两个交点的横坐标分别为，（），即，为方程的两个根，由根与系数的关系有：，，则所

6、围图形的面积从而，令有，所以当时，为面积的最小值．例5．利用定积分计算极限（1）（）；（2）．分析：考察定积分的定义，在已知定积分存在的情况下，我们可以把区间等分，则，取为右端点，则，于是；特别当，时，上式变为：．如果一个极限具有上面极限的形式则可以转化为相应的定积分来计算．解：（1）（）．（2）．．第4章常微分方程例1．求微分方程的通解．解：这是一个一阶微分方程．从形式上看，它既不是可分离变量方程，也不是齐次方程和一阶线性微分方程，但如果我们将看作自变量，看作的函数则有：，这是一个一阶线性微分方程，利用通解公式

7、可得通解：．例2．求方程的通解.解：先改写成，两边同除，得，令，则方程变为，这是一个一阶线性微分方程．利用通解公式可得其通解为：，故原方程的通解为：（为任意常数）．注：形如()的方程称为Bernoulli方程，令可将其化为一阶线性微分方程来求解．例3．求方程的通解．解法一：化为Bernoulli方程，令有：，由通解公式得方程的通解为，所以，原方程的通解为．解法二：方程变化为形式，令有：，即，分离变量后积分得：所以，原方程的通解为：．例4．求方程的通解．解：特征方程为，有特征根，，对应齐次方程的通解为；由于不是特征

8、根，故可设方程有特解，代入方程有：所以，原方程的通解为：．例5．求解微分方程．解：特征方程为，有特征根，，对应齐次方程的通解为；可求得方程有特解，方程有特解，所以方程有特解：从而原方程的通解为：．第5章空间解析几何例1．已知两条直线方程，，求过且平行的平面方程．解：设所求平面的法向量为，则取，又点在平面上，故平面的方程为：．例2．设是直线外一点，是直线上任意一点，且直线的