互感效应对磁通量子比特消相干影响的研究

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1、互感效应对磁通量子比特消相干影响的研究江西师范大学青年成长基金(批准号：2006103)资助的课题摘要：本文从经典电路理论出发，得到了磁通偏置超导电路的哈密顿量。在此基础上，运用Bloch-Redfield方程研究了超导电路多能级系统的动力学演化。在二能级近似下，分析了环境阻抗，电路之间的互感对磁通量子比特消相干的影响。关键词：超导量子电路；磁通量子比特；消相干；互感1、引言近年来，人们广泛研究了含有约瑟夫森结的超导电路的动力学特性，并用其实现量子比特。根据约瑟夫森结电荷能和隧穿能的大小关系，超导量子比特可大致区分为电荷量子比特、磁通量子比特和相位量子比特。电荷量子比特

2、工作在电荷能占主导的区域，，以超导岛上的库珀电子对数目作为量子态，因此，电荷量子比特对电荷涨落的影响很敏感；相反，磁通量子比特工作在隧穿能占主导的区域，，以超导环中的正反持续电流作为量子态，磁通量子比特的优点在于对电荷涨落的影响不敏感，而磁场的涨落相对要小很多。在量子计算中，引起计算误差的主要原因是量子比特的消相干。影响超导量子比特消相干的因素很多。研究工作者目前主要是采用自旋-玻色子模型来研究量子系统的消相干，并已取得一系列的成果。在本文中，我们首先利用经典电路理论得到磁通偏置超导电路的哈密顿量。结合Caldeira-Leggett模型，我门采用Redfield方程描

3、述电路的动力学演化。在二能级近似下，Redfield方程化为Bloch方程，我们给出了超导磁通量子比特的弛豫时间和消相干时间，并着重讨论了环境阻抗Z和电路互感对该量子系统消相干的影响。2、研究模型及哈密顿量在本文中，我们研究如图1所示的磁通偏置的超导电路，图2为图1所示电路选择的一棵树。树支含所有的电容和电感；连支部分包13图1磁通偏置的超导量子比特电路图。外磁通通过偏置电路的环路电感同主回路电感的耦合引进。阻抗Z反映了外加磁通涨落对量子比特的耗散作用。电感和的互感系数为，电感和的互感系数为，电感和的互感系数为，电感和的互感系数为。约瑟夫森节采用Stewart-McCu

4、mber(SM)模型。图2图1的树。树是包含所有节点而不构成回路的连通子图。这里我们选取含所有电容，和电感的连通图作为树。括连支电感，理想约瑟夫森节，并联电阻，以及外加阻抗和电流源。外加阻抗模拟了环境电磁涨落。根据所选择的树，树支和连支的电流电压可分别表示为：，（1）,（2），（3），（4）约瑟夫森结两端电压即为电容电压，根据约瑟夫森结电压和磁通的关系，其中，是13磁通量子。我们得到：，（5）约瑟夫森结超导电流为：，（6）是结的临界电流。并联电阻的电压-电流关系为：，（7）我们把电感和互感写成矩阵形式：,,.分别描述了电感和的互感系数，电感和的互感系数，电感和的互感系数

5、，电感和的互感系数。则电路电感和磁通关系可表示为：,（8）在线性近似下，外加阻抗的电流-电压关系为：,（9）“*”代表卷积。通过傅立叶变换，可得到频率空间外加阻抗的电流-电压关系：，（10）和分别为和的傅立叶转换形式。我们假设连支包围的回路中有外加磁通，根据基尔霍夫定律有：，（11），（12）为电路的基本回路矩阵，由电路图1和树支图2可以得到：13.由方程（1）~（12），我们得到电路（图1）超导相位的经典运动方程（13）式中各个系数矩阵见附录A。本文我们主要考虑外加阻抗和互感对电路的效应。假定，则有：，（14），（15）系统无耗散时，则，则方程（13）可简化为：，（1

6、6）根据分析力学，方程（16）可以由下面的拉格朗日函数得到：，(17)则无耗散时系统的哈密顿量为：，（18）相应的正则坐标和正则动量为：，（19），（20）3、正则量子化为了对超导电路量子化，我们需要将正则坐标和正则动量看作算符。它们满足正则对易关系：13，（21）为了描述环境对量子系统的影响，我们采用Caldeira和Leggett模型，系统的总哈密顿量为：，（22），（23）.（24）是无耗散量子电路的哈密顿量，由方程（18）给出，是谐振子库哈密顿量，，分别是谐振子的动量和坐标算符，满足对易关系。是环境与量子电路相互作用的哈密顿量，是耦合系数，是依赖于矩阵的归一化矢

7、量：，（25）其中：，（26）从系统总哈密顿量方程（22）可以得到：，（27），（28），（29），（30）13方程(27)~(30)，经过傅立叶变换可以得到方程：，（31）我们定义：，（32）因为是外加阻抗的函数，我们用变量代换，从而，（33）谐振子库的谱密度定义为：，（34）结合方程（32）~（34），可以得到和谱密度的关系：，(35)比较谱密度和函数得到：,(36)，(37)对方程(16)作傅里叶变换并和(31)式比较可得：,(38)进而由(36)式可得：，(39)其中：，（40）134、动力学演化及二能级近似现在我们研究超导量子电