201111271657255390《椭圆》_通法_特法_妙法

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1、《椭圆》通法特法妙法（1）解析法——解析几何存在的理由解析法的实质是用代数的方法学习和研究几何.在解析几何的模式下，平面上任意一条曲线都唯一对应着一个二元方程.反之，根据任意一个二元方程，都可以用描点法唯一地画出它所对应的曲线.因此，可以将几何问题转化为解方程、方程组或不等式.【例4】点P（x，y）在椭圆上，则的最大值为（）A.1B.-1C.D.【解析】设方程（1）表示过椭圆上一点P（x，y）和原点的直线.显然当直线在椭圆上方且与椭圆相切时，最大.将方程（1）代入椭圆方程得：由于直线与椭圆相切，故方程（2）应有相等二实根.由.∵k

2、>0，∴取，选D.【评注】直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根，因而可转化为其判别式为零处理；同理，直线与曲线相交要求相应的判别式大于零，相离则要求这个判别式小于零.（2）导数法——把方程与函数链接由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算，所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算，又能达到解题目的的好方法，导数法就是最为明显的一种.【例5】求证：过椭圆上一点的切线方程为：.【证明一】（解析法）设所求切线方程为：，代入椭圆方程：.化简得：∵直线与椭圆相切，∴方程（1）有相等二实根.其判别式△=0，即：.化简得：∵点在椭

3、圆上，∴，方程（2）之判别式.故方程（2）亦有相等二实根，且其根为：.则切线方程为：.再化简即得：.【证明二】（导数法）对方程两边取导数：.则切线方程为：.再化简即得：.【评注】（1）两种证法的繁简相差多大，一看便知（2）这个切线方程的实际意义很大.在有关运算中直接引用这个公式是十分省事的.（3）几何法——为解析法寻根朔源减少解析计算的又一个重要手段，是在解题中充分运用平面几何知识.【例6】（07.湖南文科.9题）设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解析】如

4、图有，设右准线交x轴于H，∵，选D.【例7】已知椭圆和圆总有公共点，则实数的取值范围是（）【解析】如右图椭圆的中心在原点，且长、短半轴分别为a=2，b=1；圆的圆心为C（a，0）且半径R=1.显然，当圆C从椭圆左边与之相切右移到椭圆右边与之相切时都有公共点.此时圆心的横坐标由-3增加到3，故a∈，选C.在解析几何解体中引入平面几何知识包含两个重要方面，一是恰当地运用平面几何知识及其推理功能，二是利用图形变换去进行数量的分析与计算.（4）转移法——将生疏向熟知化归做数学题如果题题都从最原始的地方起步，显然是劳神费力且违反数学原则的.

5、不失时机地运用前此运算成果就成为数学思想的本质特点.而转移法正是这一思想的具体体现.【例8】（06.全国一卷.20题）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点，离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B且向量OM=OA+OB.试求点M的轨迹方程【分析】点P在已知轨迹（椭圆在第一象限的部分）上，是主动点；点M在未知轨迹上，且随着点P的运动而运动，是被动点.故本例是典型的国际已知轨迹求未知轨迹，适合用坐标转移法解之.此外，过椭圆上一点P的切线方程，可以直接运用例5的结论.【解

6、析】椭圆的半焦距，离心率.又椭圆的焦点在y轴上，故其方程为：.设点P的坐标为那么过点P的椭圆切线方程为：在方程（2）中，令y=0，得.设点M的坐标为.由OM=OA+OBÞ，代入（1）：.∵，∴所求点M的轨迹方程是：.转移法求轨迹方程的基本步骤是：（1）在已知轨迹上任取一点M（x0，y0），并写出其满足的已知关系式；（2）设P（x，y）为待求轨迹上一点，并根据题设条件求出两个坐标的关系式；（3）用x，y的代数式分别表示x0，y0，代入（1）中的关系式化简即得.（5）三角法——与解析法珠联璧合三角学的资源丰富，方法灵活.在解析几何解题

7、中适当引入三角知识，优点多多.例如椭圆方程的三角形式是：，既将点的坐标中的两个变量减少为一个，又可以利用三角的优势去解决解析几何中的疑难.【例9】若P是椭圆上的点，F1和F2是焦点，则的最大值和最小值分别是【解析】椭圆的长、短半轴分别为a=2，b=，∴半焦距c=1.焦点坐标分别为：F1（-1，0），F2（1，0）.设椭圆上一点为，那么.同理；.于是故所求最大值为4，最小值是3.【例10】如图1，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明为定值，并

8、求此定值.【分析】本题选自07.重庆卷.22题，是压轴题.难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径，否则将陷入繁杂的计算而不得自拔.有关的3条线段都是焦半径，企图用椭圆的第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.正确的解题途径是：（1）利用椭圆的第二