2007年江苏、福建、吉林、湖北、浙江、天津、广西、江西、湖南省级竞赛试题详解

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1、2007年省级预赛试题解一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）1．已知函数，则（B）A．有最小正周期为B．有最小正周期为C．有最小正周期为D．无最小正周期解:,.2．关于的不等式任意两个解的差不超过9，则的最大值与最小值的和是（C）A．2B．1C．0D．－1解:方程的两根是,.3．已知向量、，设，，，则一定共线的三点为（A）A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D解:.4．设、、为平面，、为直线，则的一个充分条件是（D）A．(缺少条件)B．(当∥时,∥)C．(当两两垂直,时,)D．5．若，其中，，并且，则实数对表示平

2、面上不同点的个数为（C）A．60个B．70个C．90个D．120个解:由及题设知,个位数字的选择有5种.⑴若十位有2种,则百位的选择有5种;⑵若十位有2种,则百位的选择有4种;于是,符合题设的不同点的个数为种.6．已知，且13　　2007年省级预赛试题解，则的值有（D）A．2个B．3个C．4个D．无数个解:由题设知为偶函数,则考虑在时,恒有,所以当,且时,恒有,由于的解集为,的解集为,因此当时,恒有.二、填空题（本大题共6个小题，每小题9分，满分54分）7．设为等差数列的前项和，若，则公差为－1.解:.8．设的图象经过点，它的反函数的图象经过点，则

3、等于4.解:(舍去).故.9．已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为.解:因为,由图象知,于是,,解得.故的取值范围为.10．圆锥曲线的离心率是.13　　2007年省级预赛试题解解:原式变形为,所以动点到定点的距离与它到直线的距离之比为,故此动点轨迹为双曲线,离心率为.11．在三角形中，已知，，，则三角形的面积为.解:在三角形中，由，得.由正弦定理得.因为,所以角可取锐角或钝角,从而.,故.12．设命题，命题对任何，都有。命题与命题中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是.解:由得,由对任何，都有,得,即.因为命题与命题中有且仅有一个成立，故实数的

4、取值范围是.一、选择题(共6小题，每小题6分，满分36分)1．一个直角三角形的两条直角边长为满足不等式，则这个直角三角形的斜边长为(B)13　　2007年省级预赛试题解A．5B．C．6D．解:,于是,斜边长为.2．数812934756是一个包含1至9每个数字恰好一次的九位数，它具有如下性质：数字1至6在其中是从小到大排列的，但是数字1至7不是从小到大排列的．这样的九位数共有(C)个．A．336B．360C．432D．504解:在1,2,3,4,5,6中插入7,有6种放法,然后插入8和9,分别有8种和9种,所以共有个满足性质的九位数.3．一个三角形的

5、最短边长度是1，三个角的正切值都是整数，则该三角形的最长边的长度为(B)．A．B．C．D．2解:该三角形不是直角三角形.不妨设.则,又,所以.非直角三角形中,有恒等式,即是方程的一组正整数解.所以.易解得长边为(另外一条边长为).注：，，故.4．正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为8，则这个正三棱锥的体积的最大值为(D)．A．18B．36C．72D．144解:设正三棱锥P－ABC的底面边长为,高为,为三角形ABC的中心,G为侧面PBC的重心,GH垂直底面ABC,垂足为H.则，，由得，故。由平均不等式得，所以，，于是，.当，时等号成立.故体积

6、的最大值为144.13　　2007年省级预赛试题解或：　　，，令，得.当时，，当时，，当时，，因此，.5．对每一个正整数，设，则等于(B)A．－1025　　　　　B．－1225　　　　C．－1500　　　　D．－2525解：.6．集合的五元子集共有21个，每个子集的数从小到大排好后，取出中间的数，则所有这些数之和是(B)A．80　　　　B．84　　　　C．100　　　D．168解：显然中间数只能是3，4，5。以3为中间数的子集有个，以4为中间数的子集有个，以5为中间数的子集有个.所以，这些中间数的和为.或：对某个子集A，用表示A中每个元素被8减所得

7、的集合，这个这个集合也是一个满足条件的5元子集，这是一个一一对应，且这两个集合中中间数之和为8，平均数为4。故所有的中间数的和为.二．填空题（共6小题，每小题6分，满分36分．请直接将答案写在题中的横线上）7．函数，若＜2恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是．解：依题意知，时，＜2恒成立.所以时，恒成立，即恒成立.13　　2007年省级预赛试题解由于时，的最大值为3，最小值为2.因此，，即.8．在直角坐标平面上，正方形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（12，19）、（3，22），则顶点B、D的坐标分别为．（A、B、C、D依逆时针顺序排列）解：设线

8、段AC的中点为M，则M点的坐标为，利用复数知识：设，则，得，即.设，则，得，即.解：设线段AC的中点为M，则M点的坐标为，