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1、第28卷第3期测绘学报Vol.28,No.31999年8月ACTAGEODAETICAetCARTOGRAPHICASINICAAug.,1999*球内Dirichlet问题解及其应用石磐孙中苗(西安测绘研究所,陕西西安,710054)TheSolutiontotheProblemoftheSphericalInteriorDirichletandItsApplicationShiPan,SunZhongmiao(Xi'anResearchInstituteofSurveyingandMapping,Xi'an,Shannxi,710054)AbstractOnthebas
2、isofthesphericalharmonicsolutionofthesphericalinteriorharmonicspaceDirichlet'sproblem,thesphericalinteriorPoissonintegralispresentedinthispaper.Asthisintegralisap-pliedtotheairbornegravimetricdatadownwardcontinuation,theintegralboundarysurfaceistheairbornegravimetricsurface.Thegravityanoma
3、liesontheearth'ssurfacemaybecomputedfromthisintegraldirectlywithoutalternateapproximation.Keywordsgeodeticboundaryvalueproblem,poissonintegral,Dirichlet'sproblem,downwardanalysiscontinuation摘要本文基于球内调和函数的Dirichlet问题的球谐解式,推导了球内调和空间的Pois-son积分。将其应用于航空重力测量数据的向下延拓时,积分边界面是空中球面,边界值是空中重力异常或纯重力异常,推
4、求地面重力异常可直接积分计算,而勿需像球外Poisson积分那样迭代求解积分方程。关键词大地测量边值问题泊松积分狄利克莱问题向下解析延拓分类号P223空中重力异常,利用地面纯重力异常计算地球外1引言部扰动引力场的径向分量等。在内部问题解中,是在调和函数空间,当已知边界值为球面上的利用地面重力异常推求大地水准面或参考椭球面调和函数数值时,可以用其推求空间任意一点的上的虚拟重力异常,使内部面上的虚拟重力异常调和函数值,而且有唯一解,这个问题称为在地球外部空间与地面重力异常作用相同。Dirichlet问题,其解式为著名的Poisson积分。但是,由外部Poisson积分解决内部问
5、题时,[1]在物理大地测量边值问题中,Dirichlet问题成为积分方程,因而不得不迭代求解。用于第一边值问题求解。由于在地球内部扰动位航空重力测量技术的进步使得获取空中重力不是调和函数,故常用球外Poisson积分解决外场信息有了可能,带来的问题是如何将空中重力部重力场问题,例如利用地球表面重力异常推求异常向下解析延拓到地面上,因为物理大地测量*收稿日期:1998-11-23,截稿日期:1999-04-05。石磐,男,63岁,研究员。主要从事物理大地测量研究。本文是国家攀登项目《现代地壳运动与地球动力学研究》子课题《中国地区重力场与大地水准面研究》有关成果。196测绘学报
6、28卷学惯用的是地面重力异常。而到目前为止,仍多沿2n+1Yn(θ,λ)=V(R,θ′,λ′)Pn(cosj)de4π用球外Poisson积分解决这一问题,称为逆Pois-eson积分法,包括迭代求解和非迭代求解。Keller(6)W等认为调和向下延拓是不稳定的,因而提出利Pn(cosj)是以cosj为函数的Legendre多项式。用地面重力场的先验信息使向下延拓稳定,地面重力场的先验信息用重力场模型即可,该方法的[2]实质是空中和地面两类数据的联合平差。JekeliC较早地对航空重力测量数据向下延拓进行了理论和方法研究,提出了无密度假设的航空重力测[3]量数据向下延拓方法
7、。另外还有将Poisson积分改化为空域卷积形式,用球面FFT方法向下延[4]拓。由于在地球外部,当忽略大气等质量时,航空图1边界面为球面的向上延拓Fig.1Upwardcontinuationfromspherical重力测量面到地球表面之间为调和空间,因而可boundarysurface用球内调和空间Dirichlet问题解式求解空中重现将级数解改化为积分形式。将式(6)代入力异常向下解析延拓问题。此时的Poisson内部式(4),有积分边界面是已知空中重力异常的面,不会成为∞1积分方程,可直接积分计算地面点的
